Упражнения

1. Докажите, что ненулевая матрица строчечно эквивалентна одной и только одной приведенной ступенчатой матрице.

2. Докажите, что -матрипа А строчечно эквивалентна единичной -матрице тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен

3. Покажите, что две линейные однородные системы над полем 3 с переменными равносильны тогда и только тогда, когда строчечно эквивалентны основные матрицы этих систем.

4. Пусть — конечное поле, состоящее из k элементов. Покажите, что данная однородная система линейных уравнений над полем с переменными имеет решений, где — ранг основной матрицы данной системы уравнений.

5. Докажите, что совместная система линейных уравнений с ненулевой основной матрицей равносильна одной и только одной приведенной ступенчатой системе линейных уравнений.

6. Докажите, что если равносильны две совместные системы линейных уравнений, то равносильны ассоциированные с ними однородные системы линейных уравнений.

7. Докажите, что две совместные системы линейных уравнений над полем 3: с переменными равносильны тогда и только тогда, когда строчечно эквивалентны расширенные матрицы этих систем.