§ 5. ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Понятие поля.

Дадим основные определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент а кольца называется обратимым элементом кольца, если в кольце существует такой элемент b, что При этом элементы а и b называются взаимно обратными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полем называется коммутативное кольцо, в котором нуль отличен от единицы, и всякий ненулевой элемент является обратимым элементом кольца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — поле. Группа называется аддитивной группой поля. Ее нейтральный элемент называется нулем поля и обозначается символом 0 или

Элемент 1, нейтральный относительно умножения, называется единицей поля и обозначается также символом

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подполем поля называется подкольцо поля в котором всякий ненулевой элемент обратим. Подполе поля отличное от называется собственным подполем.

Ясно, что всякое подполе является полем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.

Простейшие свойства поля. Пусть а, b — элементы поля Уравнение имеет в поле решение легко проверить, что является единственным решением уравнения. Элемент обозначается символом или

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть — поле. Тогда для любых элементов а, b, с поля:

Доказательство. (1) Если , то так как при что в поле невозможно. Поскольку существует элемент обратный а, и

(2) Если , то в поле существует элемент

(3) Из следует или . В самом деле, если то существует элемент

(4) По закону контрапозиции, из (3) следует, что

(5) Пусть . Тогда Обратно: из равенства при следуют равенства

(6) Так как

(7) При

(8) При

(9) Если , то