Моноиды.

Пусть А — множество с бинарной операцией Элемент из А называется нейтральным относительно операции если для любого а из А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Моноидом называется алгебра типа (2, 0), главные операции которой удовлетворяют условиям:

(1) бинарная операция ассоциативна:

(2) элемент является нейтральным относительно операции

Примеры. 1. Пусть + есть операция сложения на множестве N натуральных чисел. Алгебра есть моноид, так как сложение ассоциативно и 0 является нейтральным элементом относительно сложения. Этот моноид называется аддитивным моноидом натуральных чисел.

2. Пусть есть операция умножения на множестве N натуральных чисел. Алгебра есть моноид, так как умножение ассоциативно и 1 есть нейтральный элемент относительно умножения. Этот моноид называется мультипликативным моноидом натуральных чисел.

3. Пусть — фиксированное натуральное число, отличное от нуля, А — совокупность всех отображений множества в себя и s — тождественное отображение этого множества. Алгебра , где есть бинарная операция — композиция отображений, является моноидом, так как композиция отображений ассоциативна и есть нейтральный элемент относительно операции Этот моноид называется моноидом отображений множества

4. Пусть — кольцо. Тогда алгебра есть моноид. Он называется мультипликативным моноидом кольца