§ 2. ПОДГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ

Подгруппы.

Пусть М — непустое множество и — множество всех подстановок множества М, т. е. совокупность всех инъективных отображений множества М на себя. Если f и g — подстановки множества М, то их композиция и обратное отображение суть подстановки множества М.

ТЕОРЕМА 2.1. Алгебра является группой.

Доказательство. Бинарная операция на , композиция подстановок множества М, ассоциативна в силу теоремы 2.2. Тождественная подстановка есть нейтральный элемент относительно операции Для любой подстановки f множества Следовательно, алгебра является группой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа называется симметрической группой на множестве М и обозначается через Если множество М конечно и состоит из элементов, то группа называется симметрической группой степени и обозначается также через

Пусть — мультипликативная группа. Каждому элементу а группы поставим в соответствие отображение множества G на G, определяемое формулой

Отображение есть подстановка множества G и называется левой трансляцией G. Множество называется множеством левых трансляций

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Пусть — симметрическая группа на множестве G. Алгебра является подгруппой группы

Доказательство. Для любых элементов а, b группы имеют место равенства

где — единица группы

В самом деле, для любого из

Полагая в последнем равенстве имеем , где — единица группы

Кроме того, в силу (1) и

На основании (1) и (2) заключаем, что множество Т (G) замкнуто относительно главных операций группы S (G). Следовательно, алгебра есть подгруппа группы .

ТЕОРЕМА 2.3 (КЭЛИ). Любая группа изоморфна подгруппе симметрической группы на множестве G. В частности, каждая конечная группа порядка изоморфна подгруппе симметрической группы степени.

Доказательство. Пусть — совокупность всех левых трансляций множества G. По теореме 2.2, группа есть подгруппа группы

Пусть h — отображение множества G на Т (G), определяемое формулой

Отображение h сохраняет главные операции группы . В самом деле, в силу (1) и (2)

Кроме того, h есть инъективное отображение. Действительно, для любых а, b множества G, если то , где — единица группы и, значит, . Следовательно, h является изоморфизмом группы на подгруппу симметрической группы на множество G.