§ 3. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Уравнения третьей степени.

Уравнение

называется неполным кубическим уравнением. В уравнении (1) положим т. е. вместо одной переменной введем две. Получим

или

Потребуем, чтобы выполнялось условие т. е. условие При выполнении этого условия и удовлетворяют системе

На основании (3), (2) и (1) заключаем: если есть решение системы (3), то сумма является решением уравнения (1).

Покажем, что верно также обратное утверждение: если есть корень уравнения (1), то существует такое решение системы (3), что . В самом деле, пусть — корень уравнения (1). Рассмотрим уравнение

Пусть и, - его комплексные корни. Тогда, по формулам Виета,

Так как — корень уравнения (1), то есть решение (2) и, следовательно, решение системы (3). Таким образом, зная решения системы (3), можно найти все корни уравнения (1).

Система уравнений

очевидно, есть следствие системы (3).

Числа u, v удовлетворяют (4) тогда и только тогда, когда числа являются корнями квадратного уравнения

Это уравнение называется разрешающим для уравнения (1). Его дискриминант обозначим через :

Корни уравнения (5) выражаются формулами

Отсюда находим девять решений системы (4). Отбирая из них только такие решения системы (4), которые удовлетворяют условию получаем все решения системы (3).

Система (3) имеет хотя бы одно решение. В самом деле, пусть есть какое-нибудь решение системы (4), тогда Значит,

поэтому

Следовательно, для любого значения и корня третьей степени из существует такое значение v корня третьей степени из что т. е. пара будет решением системы (3).

Если и, — значения корня третьей степени из то им соответствуют — значения корня третьей степени из Таким образом, если — какое-нибудь решение системы (3), то есть совокупность всех решений системы (3) — система (3) имеет три различных решения. Заключаем, что уравнение (1) имеет следующие решения:

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть дано уравнение

Пусть — корни разрешающего уравнения Корни уравнения (1) выражаются формулами

где — числа, удовлетворяющие условиям

и — мнимый корень третьей степени из единицы.

Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что делится на причем частное равно ; следовательно,

Далее, имеем

В силу формул Виета

Отсюда и из формул (I) следует, что

В силу формул (I), и (4) получаем

т. е.

В силу (5) и (6) формулу (3) можно записать в виде

На основании (2) и (7) заключаем, что

СЛЕДСТВИЕ 3.2. Корни уравнения (1) выражаются формулами

где u и v — числа, удовлетворяющие условиям

Доказательство. Формулы (II) получаются из формул (I), если положить