Формулы логики высказываний.

Основной задачей логики высказываний является изучение логических форм сложных высказываний с помощью логических операций. Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью вводимого ниже понятия формулы логики высказываний.

Для обозначения высказываний будем использовать малые буквы конца латинского алфавита (возможно, с индексами). При этом, какое высказывание (истинное или ложное) будет обозначать та или иная буква, предполагаем неизвестным. Фактически буквы

будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения «истина» и «ложь». Обычно эти переменные называются пропозициональными переменными, будем также называть их элементарными формулами или атомами.

Для построения формул логики высказываний кроме символов (1) используются знаки логических операций

а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул, — левая и правая скобки:

Понятие формулы логики высказываний определим следующим образом:

1) элементарные формулы (атомы) суть формулы логики высказываний;

2) если А и В — формулы, то тоже являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы содержит перечисление правил образования формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2). Например, выражения

являются формулами логики высказываний.

Обозначать произвольные формулы логики высказываний будем большими буквами латинского алфавита (возможно, с индексами):

При этом не исключено, что одна и та же формула может быть обозначена различными буквами.

Заметим, что никакой атом не имеет вида Такой вид имеют сложные формулы.

В первой главе вместо «формула логики высказываний» часто будем говорить просто «формула» там, где это не может вызвать недоразумений.

Число скобок в формулах можно уменьшить, введя соглашения: 1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок. 2) упорядочим знаки логических операций по «старшинству»: . В этом списке знак имеет самую большую область действия, а знак — самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы, к которым «применяется» (на которые «действует») рассматриваемое вхождение этого знака. Договоримся опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая «порядок старшинства». При восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака и т. д.

Пример. В формуле скобки восстанавливаются следующими шагами:

Не всякая формула может быть записана без скобок. Например, в формулах дальнейшее исключение скобок невозможно.