Упражнения

1. Докажите, что тождественное отображение множества А есть отношение порядка на множестве А.

2. Покажите, что отношение

есть линейный порядок на множестве N натуральных чисел.

3. Пусть и

Покажите, что R есть отношение порядка на А, найдите максимальные и минимальные элементы.

4. Пусть отношения определяются на множестве N натуральных чисел обычным образом. Докажите, что

5. Постройте линейный порядок на множестве

6. Покажите, что конечное множество, состоящее из элементов, можно линейно упорядочить способами.

7. Покажите, что отношение включения не является линейным порядком на совокупности всех подмножеств множества А, если А содержит не менее двух элементов.

8. Докажите, что любое вполне упорядоченное множество является линейно упорядоченным.

9. Докажите, что бинарное отношение R на множестве А является отношением нестрогого порядка тогда и только тогда, когда

10. Докажите, что если R есть отношение порядка (линейного порядка), то обратное отношение R также есть отношение порядка (линейного порядка).

11. Пусть есть отношение нестрогого порядка на множестве А. Докажите, что отношение <эС антирефлексивно и транзитивно на А.

12. Пусть - бинарное отношение, антирефлексивное и транзитивное на множестве А, Докажите, что отношение такое, что есть отношение нестрогого порядка на А.

13. Докажите, что для линейно упорядоченного множества понятия наибольшего (наименьшего) и максимального (минимального) элементов совпадают.

14. Докажите, что если R есть частичный (линейный, полный) порядок на множестве А и , то является частным (линейным, полным) порядком на множестве В.

15. Пусть -отношение предпорядка на множестве А. Положим ). Докажите, что:

есть отношение эквивалентности на А;

есть отношение порядка на где