Запись высказываний на языке логики предикатов.

Рассмотрим четыре основных типа высказываний, часто встречающихся в математике. В символической записи этих высказываний (записи на языке логики предикатов) используются кванторы.

Пусть - обозначение предиката «х — нечетное число», а — обозначение предиката — простое число», где — целочисленная переменная.

1. Высказывание «Всякое нечетное число является простым числом» можно переформулировать следующим образом: «Для всякого если — нечетное, то — простое число». Теперь ясно, что это высказывание на языке предикатов запишется так:

2. Высказывание «Никакое нечетное число не является простым числом», или «Для всякого если — нечетное, то не является простым», в символической форме запишется так:

Заметим, что истинностное значение высказывания в наших рассуждениях не играет роли.

3. Следующий тип высказывания: «Некоторые нечетные числа — простые». Суть его в том, что существует такое которое одновременно является и нечетным числом, и простым. Поэтому высказывание третьего типа на языке логики предикатов запишется в виде

Эта последняя запись не эквивалентна записи

которая выражает совсем не тот смысл, что исходное высказывание.

4. К четвертому типу относится высказывание «Некоторые нечетные числа не являются простыми». Это высказывание записывается так:

Рассмотренные примеры показывают, как любое высказывание, относящееся к одному из четырех основных типов, можно записать в символической форме. В дальнейшем иногда для высказывания «Существует положительное такое, что вместо символической записи

будет употребляться более короткая запись ) Аналогично, для высказывания «Для всякого положительного имеет место вместо записи

будет употребляться запись