Простейшие свойства группы.

Ниже используется мультипликативная форма записи операций группы.

СВОЙСТВО 3.1. Для любого элемента а группы , т. е. правый обратный к а элемент является также левым обратным.

Доказательство. Из второй и третьей аксиом группы следует, что

В силу аксиом группы отсюда вытекают равенства

СВОЙСТВО 3.2. Для каждого элемента а группы элемент является единственным обратным элементом. Каждый элемент а группы имеет единственный правый и единственный левый обратный элемент, причем оба они совпадают с

Это свойство непосредственно вытекает из определения обратного элемента, свойства 3.1, теоремы 1.4 и следствия 1.5 из нее.

СВОЙСТВО 3.3. Для любого элемента а группы , т. е. правая единица является также и левой единицей.

Доказательство. Из аксиом группы и свойства 3.1 следует, что

СВОЙСТВО 3.4. Элемент группы является единственным единичным элементом группы.

Он же является единственным левым и единственным правым единичным элементом группы.

Это свойство непосредственно следует из определения единичных элементов, свойства 3.3, теоремы 1.1 и следствия 1.2 из нее.

СВОЙСТВО 3.5. Для любых элементов а, b группы каждое из уравнений относительно переменных х и у имеет в группе единственное решение.

Доказательство. Элемент есть решение уравнения так как . С другой стороны, если с — произвольное решение уравнения , то Следовательно, элемент является единственным решением первого уравнения. Аналогично доказывается, что элемент является единственным решением второго уравнения.

СВОЙСТВО 3.6 (закон сокращения). Для любых элементов а, b, с группы из следует и из следует .

Доказательство. Если , то а и b являются решениями уравнения По свойству 3.3 отсюда следует, что Аналогично доказывается, что из следует

СВОЙСТВО 3.7. Для любых элементов а, b, с группы из следует и из следует

Доказательство. Если , то По закону сокращения, из следует Аналогично, из следует и .

СВОЙСТВО 3.8. В группе элемент а есть обратный к

Доказательство. По третьей аксиоме группы, По свойству Таким образом, По закону сокращения, отсюда следует равенство

СВОЙСТВО 3.9. Для любых элементов а, b группы из следует, что

Это свойство непосредственно вытекает из определения обратного элемента и свойства 3.2.