Сравнения и классы вычетов по идеалу.

Пусть I — фиксированный произвольный идеал кольца

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементы а, b кольца называются сравнимыми по идеалу I, если

Запись означает, что элементы а и сравнимы по идеалу I.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Отношение сравнения по идеалу I в кольце (на множестве К) является отношением эквивалентности.

Доказательство. Отношение сравнения по идеалу I рефлексивно, так как для любого элемента а из К. Отношение сравнения по идеалу транзитивно, так как из того, что следует, что

Отношение сравнения по идеалу I симметрично, так как из следует

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Классы эквивалентности отношения сравнения по идеалу I в кольце называются классами вычетов по идеалу I или смежными классами кольца по идеалу I.

Класс вычетов, содержащий элемент а кольца будем обозначать через а. Очевидно,

ТЕОРЕМА 1.2. Классы вычетов кольца по идеалу I обладают следующими свойствами:

(1) любые два класса вычетов либо совпадают, либо не пересекаются,

(2) объединение всех классов вычетов кольца по идеалу 1 совпадает с множеством

(3) классы вычетов а и b по идеалу I совпадают тогда и только тогда, когда

(4) если то (в частности, ).

Свойства теоремы выражают соответствующие

свойства смежных классов группы по подгруппе

Рассмотрим следующие основные свойства сравнений по идеалу.

СВОЙСТВО 1.1. Сравнения можно почленно складывать и вычитать, т. е. из

следует, что

Доказательство. В самом деле, если то

Следовательно,

СВОЙСТВО 1.2. Обе части сравнения можно умножить на любое целое число , т. е. из следует сравнение где .

Доказательство. Из следует, что

СВОЙСТВО 1.3. Обе части сравнения можно умножить справа и слева на любой элемент кольца, т. е. из

следуют сравнения

Доказательство. Множество элементов идеала устойчиво относительно умножения на элементы кольца. Следовательно, для любого элемента с кольца из следует, что

СВОЙСТВО 1.4. Сравнения можно почленно перемножить, т. е. если

Доказательство. В самом деле, если а то в силу устойчивости идеала относительно сложения и умножения на элементы кольца имеем