Примеры групп.

1. Пусть Q — множество всех рациональных чисел с обычным сложением и унарной операцией операцией перехода от числа а к противоположному числу Алгебра типа (2,1) является группой. Она называется аддитивной группой рациональных чисел,

2. Пусть Q — множество всех отличных от нуля рациональных чисел с обычным умножением и унарной операцией -1 — операцией перехода от числа а к обратному числу Алгебра является группой. Эта группа называется мультипликативной группой рациональных чисел.

3. Пусть R — множество всех действительных чисел с обычным сложением и унарной операцией ставящей в соответствие каждому действительному числу противоположное число . Алгебра является группой. Она называется аддитивной группой действительных чисел.

4. Пусть R — множество всех отличных от нуля действительных чисел с обычным умножением и унарной операцией ставящей в соответствие каждому отличному от нуля числу обратное число Алгебра является группой. Эта группа называется мультипликативной группой действительных чисел.

5. Пусть — совокупность всех подстановок множества т. е. совокупность ннъективных отображений этого множества на себя. Пусть — алгебра с бинарной операцией — композицией отображений, и унарной операцией ставящей в соответствие функции f из обратную ей функцию . Эта алгебра является группой. В самом деле, по теореме 2.3.10, композиция любых двух подстановок множества М есть подстановка этого множества. По теореме 2.3.5, композиция подстановок ассоциативна. Тождественная подстановка есть нейтральный элемент относительно композиции подстановок. Для любой подстановки f множества Эта группа называется симметрической группой подстановок степени ; она имеет порядок и не коммутативна при

6. Пусть G — множество всех векторов данной плоскости с обычной операцией сложения векторов и унарной операцией ставящей в соответствие каждому вектору v противоположный вектор Алгебра является группой. Эта группа называется аддитивной группой векторов плоскости.

7. Пусть G — множество всех вращений плоскости вокруг данной точки О. Вращение плоскости рассматривается как преобразование плоскости, т. е. инъективное отображение плоскости на себя. Два вращения на углы а и § рассматриваются как совпадающие, если а где — целое число. Композиция двух вращений соответственно на углы есть вращение на угол а . Если — вращение на угол а, то — вращение на угол Алгебра является группой. Она называется группой вращений плоскости вокруг данной точки.

8. Пусть — множество, состоящее из вращений данной плоскости на углы вокруг данной точки О, отображающих правильный -угольник с центром в точке О на себя. Алгебра является группой. Она называется группой вращений правильного -угольника.

9. Пусть G — множество всех вращений пространства вокруг точки О, отображающих данное правильное тело (тетраэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр) с центром в точке О на себя. Алгебра является группой. Она называется группой вращений (самосовмещений) данного правильного тела.