Транспонирование произведения матриц.

Пусть есть -матрица над полем Тогда -матрица такая, что называется матрицей, транспонированной к , и обозначается через А. Таким образом, транспонированная матрица получается в результате замены строк данной матрицы соответствующими столбцами.

В частности,

ТЕОРЕМА 1.3. Если существует произведете АВ матриц А и В, то существует произведение

Доказательство. Предположим, что . Тогда если то . Кроме того, . Следовательно, существует произведение Таким образом, матрицы являются -матрицами. Проверим, что элементы этих матриц равны. В самом деле,

с другой стороны,

Следовательно, для любых индексов i и k, т. е.