Глава тринадцатая. КОЛЬЦА

§ 1. ИДЕАЛЫ КОЛЬЦА. ФАКТОР-КОЛЬЦО

Идеалы кольца.

Пусть - кольцо и I — подмножество множества К. Множество I называется замкнутым в относительно вычитания, если для любых элементов а и b из I.

Множество называется устойчивым относительно умножения справа на элементы кольца если для любого а из и любого k из К, т. е. если множество I вместе с каждым своим элементом а содержит все его правые кратные где . Аналогично определяется множество, устойчивое относительно умножения слева на элементы кольца

Множество I называется устойчивым относительно умножения на элементы кольца если оно устойчиво относительно умножения справа и слева на элементы кольца .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Правым идеалом кольца называется любое непустое подмножество множества К, замкнутое в относительно вычитания и устойчивое относительно умножения справа (слева) на элементы кольца .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двусторонним идеалом кольца или просто идеалом кольца называется любое непустое подмножество множества К, если оно является одновременно правым и левым идеалом кольца .

Из определения следует, что любой идеал I кольца содержит нуль кольца и замкнут относительно первых трех главных операций кольца. Алгебра является подгруппой аддитивной группы кольца. Множество есть идеал кольца назьюаемый нулевым идеалом. Множество К также есть идеал кольца он состоит из кратных единицы кольца и поэтому называется единичным идеалом кольца Нулевой и единичный идеалы называются тривиальными идеалами кольца

Идеалы кольца, отличные от тривиальных, называются собственными идеалами кольца.

Примеры. 1. Пусть — кольцо целых чисел и — фиксированное целое число. Множество является идеалом кольца

2. Пусть — произвольное кольцо и — фиксированное целое число. Множество является идеалом кольца

3. Пусть — коммутативное кольцо и а — фиксированный его элемент. Множество состоящее из кратных элемента а, есть идеал. Он называется главным идеалом, порожденным элементом а, и обозначается через (а). В некоммутативных кольцах необходимо различать правые и левые главные идеалы.

4. Пусть — коммутативное кольцо и -Множество есть идеал кольца Он называется идеалом, порожденным элементами и обозначается символом

В некоммутативных кольцах необходимо различать правые и левые идеалы, порожденные элементами

Рассмотрим операции над идеалами. Пересечением идеалов I и J кольца называется множество Аналогично определяется пересечение любой совокупности идеалов кольца. Легко проверить, что пересечение любой совокупности идеалов кольца есть идеал этого кольца.

Суммой идеалов I и J называется множество определяемое равенством

Легко проверить, что сумма идеалов кольца есть идеал этого кольца. Сложение идеалов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

Произведением идеалов I и J кольца называется множество всех элементов вида где и — любое целое положительное число. Произведение идеалов I и J обозначается через . Легко проверить, что произведение идеалов кольца есть идеал этого кольца.

Отметим, что главный идеал (а), порожденный элементом а коммутативного кольца является пересечением всех идеалов, содержащих элемент а, и, значит, (а) есть наименьший среди идеалов, содержащих элемент а.

Аналогично, идеал порожденный элементами коммутативного кольца , является пересечением всех идеалов, содержащих элементы и, значит, есть наименьший среди идеалов, содержащих элементы