Упражнения

1. Пусть К — множество всех рациональных чисел с нечетными знаменателями — подкольцо поля рациональных чисел.

Покажите, что есть кольцо главных идеалов.

2. Пусть — кольцо целых гауссовых чисел. Найдите обратимые элементы этого кольца.

3. Докажите, что фактор-кольцо кольца целых гауссовых чисел по идеалу (3) есть поле из дезяти элементов.

4. Докажите, что фактор-кольцо кольца целых гауссовых чисел по идеалу является полем тогда и только тогда, когда — простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел.

5. Пусть — подкольцо поля комплексных чисел. Покажите, что в кольце всякий необратимый элемент, отличный от нуля, разложим на простые множители, но не всегда однозначно. В частности, покажите, Что — два разложения числа 4 в произведение простых множителей, причем 2 не ассоциировано с .

6. Пусть К — множество всех комплексных чисел вида а , где а и b — либо оба целые, либо оба половины нечетных целых чисел. Пусть — подкольцо поля комплексных чисел с основным множеством . Докажите, что кольцо является евклидовым.

7. Докажите, что элемент кольца главных идеалов простой тогда и только тогда, когда фактор-кольцо является областью целостности.

8. Пусть — подкольцо поля действительных чисел с основным множеством Докажите, что кольцо является евклидовым.