Научная библиотека

Теорема Штурма.

При доказательстве теоремы Штурма будет использована следующая теорема Вейерштрасса: если действительная функция f непрерывна на отрезке и числа имеют разные знаки, то f имеет корень между а и b.

Пусть f — полином с действительными коэффициентами. Пусть для каждого действительного числа с обозначает. число перемен знака в числовом ряде в котором опущены все нули.

ТЕОРЕМА (Штурма). Пусть f — полином с действительными коэффициентами, не имеющий кратных действительных корней, и

— система полиномов Штурма для f. Пусть — произвольные действительные числа, не являющиеся корнями тлинома f. Число различных действительных корней полинома f в интервале равно разности да (а) — да

Доказательство. Пусть М — множество всех действительных корней полиномов (1). Элементы множества М разбивают интервал на подынтервалы. Внутри каждого такого подынтервала ни один из полиномов (1) не обращается в нуль. В силу теоремы Вейерштрасса отсюда следует, что внутри каждого подынтервала все полиномы (1) сохраняют свои знаки и, значит, число да не изменяется. Нам остается исследовать, как изменится число да при переходе через действительное значение у, в котором хотя бы один из полиномов (1) обращается в нуль, т. е. .

Пусть — внутренние точки двух соседних подынтервалов, примыкающих к точке у. Докажем, что разность выражается формулами

Предположим, что у — корень полинома где По свойству 4.2, числа имеют противоположные знаки. Поэтому в двух подынтервалах, примыкающих к у, значения полиномов имеют противоположные знаки. Следовательно, число перемен знаков в последовательностях

одно и то же, а именно равно единице. В остальных частях системы полиномов (1) число перемен знаков не меняется. Следовательно, в рассматриваемом случае да

Предположим теперь, что у — корень полинома

Так как, по условию, полином f не имеет кратных действительных корней, то существует такой полином g с действительными коэффициентами, что

следовательно,

В силу (4) знак полинома в точке у, а следовательно, и в обоих примыкающих к у подынтервалах совпадает со знаком числа . В то же время в силу (3) знак для каждого значения совпадает со знаком (). Следовательно, между есть одна перемена знака, а числа имеют один и тот же знак. При этом все остальные возможные перемены знака в ряде (1), как уже показано, сохраняются при переходе через точку у. Таким образом, в рассматриваемом случае

Итак, доказано, что только при переходе через значение корня полинома f число до уменьшается на единицу. Следовательно, число различных действительных корней полинома f равно разности

Теорема Штурма верна также и в том случае, когда полином имеет кратные действительные корни. Доказательство теоремы в этом случае несущественным образом отличается от доказательства, приведенного выше.

Для определения числа всех различных корней полинома f с помощью теоремы Штурма удобно выбрать а и b такими, чтобы ни один полином системы Штурма не имел корней вне интервала Тогда знаки полиномов системы Штурма будут определяться знаками их старших коэффициентов. Действительно, для очень больших значений знак полинома совпадает со знаком а для очень больших по абсолютной величине отрицательных значений знак полинома совпадает со знаком Следовательно, при таком способе нет необходимости думать о том, как велики должны быть а и так как достаточно знать только знаки старших коэффициентов полиномов системы Штурма для f и степени этих полиномов.

Используя теорему Штурма, можно действительные корни полинома f отделить — найти интервалы, в каждом из которых лежит только один корень полинома

Пример. Найдем число положительных и отрицательных корней полинома

Применив метод последовательного деления, находим для f следующую систему полиномов Штурма:

Для отрицательного и достаточно большого по абсолютной величине значения ряд знаков будет (четыре перемены знака). При знаки совпадают со знаками свободных членов, т. е. (две перемены знака).

Таким образом, потеряны две перемены знака, следовательно, полином f имеет два отрицательных корня. Для положительного достаточно большого значения имеем знаки старших членов (нуль перемен знака). Следовательно, полином имеет два положительных корня.

Упражнения

1. Составьте полиномы Штурма и отделите корни полиномов:

2. Определите с помощью теоремы Штурма число действительных корней полинома с действительными коэффициентами

3. Определите с помощью теоремы Штурма число действительных корней полинома при действительных и

4. Докажите, что если система Штурма для полинома f степени с действительными коэффициентами состоит полиномов, то число перемен знака в ряду старших коэффициентов полиномов Штурма равно числу пар сопряженных комплексных корней полинома

5. Найдите число действительных корней полинома Между какими последовательными целыми числами лежат эти корни?