Упражнения

1. Пусть — изоморфизм алгебраической системы на алгебраическую систему где и - бинарные отношения. Докажите, что тогда:

если R рефлексивно (на ), и S рефлексивно (на В);

если R антирефлексивно (на ), то и S антирефлексивно (на В);

если отношение R симметрично, то и S симметрично;

если R транзитивно, то и S транзитивно;

если R антисимметрично, то и S антисимметрично;

если R связанно, то и S связанно;

если — отношение строгого (нестрогого) порядка (на ), то и S — отношение строгого (нестрогого) порядка (на В);

если — отношение линейного порядка (на ), то и S — отношение линейного порядка (на В).

2. Покажите на примере систем где а — пустое бинарное отношение на N, а N — множество натуральных чисел, что не каждый взаимно однозначный гомоморфизм есть изоморфизм.

3. Приведите примеры изоморфизмов и гомоморфизмов алгебраических систем.