3. РЕЗУЛЬТАНТ ПОЛИНОМОВ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Результант двух полиномов.

Пусть f и g — полиномы из кольца полиномов над полем . Найдем условия, при которых эти полиномы обладают общим делителем положительной степени.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть f и g — полиномы от над полем такие, что

и по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Полиномы имеют общий делитель положительной степени в тогда и только тогда, когда в существуют полиномы удовлетворяющие условиям:

хотя бы один из полиномов отличен от нуля.

Доказательство. Предположим, что полиномы имеют в общий делитель и положительной степени. Тогда существуют полиномы с и d такие, что Легко проверить, что полиномы удовлетворяют условиям

Предположим теперь, что существуют полиномы с, d, удовлетворяющие условиям и (7). Предположим, что степень полинома f равна , т. е. (в противном случае можно было бы поменять ролями f и g). Пусть — наибольший общий делитель с и d. Тогда в существуют такие полиномы что

Отметим, что так как в противном случае и ввиду что противоречит условию (у). В силу (1) и условия и, значит,

Поскольку полином делит и является взаимно простым с то делит f; так что

где t — полином положительной степени, так как степень не выше степени d, а степень d ниже степени f в силу условия (Р). Из (3) и (2) получаем Таким образом, имеют общий делитель t положительной степени.

Запишем условия (а) и (Р) более подробно:

Произведя умножение в обеих частях равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем следующую систему линейных уравнений:

Это есть система однородных линейных уравнений с переменными Она имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю. Для того чтобы избежать появления минусов перед элементами матрицы определителя, можно, перенеся правые части уравнений влево, считать переменными . Если, кроме того, транспонировать матрицу определителя, то определитель системы примет вид

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Результантом полиномов называется определитель

Из теоремы 3.1 следует, что полиномы f и g (у которых или ) имеют общий делитель положительной степени тогда и только тогда, когда система линейных уравнений имеет ненулевые решения, т. е. когда определитель R равен нулю. Итак, доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть — полиномы над полем и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Полиномы имеют общий делитель положительной степени тогда и только тогда, когда результант этих полиномов равен нулю.

СЛЕДСТВИЕ 3.3. Если результант полиномов равен нулю, то либо полиномы имеют общий делитель положительной степени, либо коэффициенты равны нулю, и обратно.