§ 3. ПРЕДИКАТЫ

Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математических рассуждений. Например, средствами логики высказываний нельзя установить правильность такого рассуждения: «Всякое целое число является рациональным числом; 25 — целое число, следовательно, 25 — рациональное число». Это объясняется тем, что в логике высказываний простые высказывания, из которых с помощью логических операций строятся сложные, рассматриваются как нерасчленяемые. Они не подвергаются анализу структуры в смысле связей объектов и их свойств. Поэтому возникает необходимость в построении такой логической системы, средствами которой можно исследовать строение тех высказываний, которые в логике высказываний рассматриваются как элементарные. Такой логической системой является логика предикатов, содержащая как часть логику высказываний.

Свободные переменные.

В математике широко используются буквенные обозначения. Некоторые буквы, выделяемые в тексте, обозначают произвольные объекты определенного вида. Обычно каждая такая буква сохраняет свою индивидуальность, т. е. обозначает один и тот же объект на всем протяжении некоторого текста. Различные буквы могут обозначать как один и тот же объект, так и различные объекты. Используемые таким образом буквы называются свободными переменными.

Допустимыми значениями свободной переменной называются те объекты определенного вида, для обозначения которых употребляется эта переменная. Так, допустимыми значениями свободной переменной могут быть высказывания. Такая свободная переменная называется пропозициональной.

Допустимыми значениями свободной переменной могут быть натуральные, или целые, числа. Такая свободная переменная называется соответственно натуральной или целочисленной.

Если допустимыми значениями свободной переменной являются действительные или комплексные числа, то такая переменная называется соответственно действительной или комплексной.