Упражнения

1. Каждое из следующих условий выделяет некоторое множество векторов векторного пространства Какие из этих множеств замкнуты В V относительно сложения и умножений на скаляры:

2. Пусть векторное пространство всех -матриц над полем. Покажите, что множество всех симметрических (кососимметрических) матриц пространства W есть подпространство пространства V относительно сложения и умножений на скаляры.

3. Пусть над числовым полем -подпространство всех симметрических -матриц и U — подпространство всех кососимметрических матриц. Докажите, что

4. Пусть есть векторное пространство (над ) всех трижды дифференцируемых функций удовлетворяющих условию Покажите, что множество всех функций пространства, удовлетворяющих условию образует подпространство пространства V.

5. Пусть векторное пространство -матриц над полем действительных чисел. Покажите, что множество всех матриц над вида образует подпространство пространства V.

6. Пусть - векторы векторного пространства Докажите, что

7. Докажите, что пересечение любого множества подпространств векторного пространства является подпространством пространства

8. Пусть - подпространства векторного пространства Докажите, что есть пересечение всех подпространств пространства содержащих подпространства

9. Пусть а, b, с — векторы, удовлетворяющие условию где - ненулевые скаляры. Покажите, что а).

10. Пусть векторы а, b линейно независимы. Покажите, что

11. Пусть система векторов а, с линейно независима. Докажите, что .

12. Покажите, что если вектор b есть линейная комбинация векторов то

13. Предположим, что векторное пространство порождается подпростоанством 21 и вектором а. Покажите, что если то

14. Пусть есть сумма подпространств X и Покажите, что если хотя бы один вектор можно однозначно представить в виде где

15. Пусть есть прямая сумма подпространств Покажите, что если есть линейно независимая система векторов подпространства — линейно независимая система векторов из то есть линейно независимая система векторов пространства

16. Пусть векторное пространство есть сумма подпространств Докажите, что тогда и только тогда, когда

17. Пусть где -поле скаляров, состоящее из двух элементов, и — линейно независимая система векторов пространства Сколько векторов имеет линейная оболочка этих векторов?