§ 4. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Координатная строка вектора относительно данного базиса.

Пусть — векторное пространство над полем ТЕОРЕМА 4.1. Пусть

— базис векторного пространства Для каждого вектора а из V существует в единственный арифметический вектор такой, что

Доказательство. Так как система векторов (1) порождает пространство то любой вектор а из V можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1) в виде (2). Такое представление единственно. В самом деле, если

— любое представление а в виде линейной комбинации векторов системы (1), то

В силу линейной независимости системы (1) отсюда вытекают равенства

Следовательно, вектор а обладает единственным представлением в виде линейной комбинации векторов базиса (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — фиксированный базис пространства Коэффициенты называются координатами вектора а относительно фиксированного базиса. Вектор называется координатной строкой, а вектор — координатным столбцом вектора а относительно фиксированного базиса.