Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.

Пусть дана система линейных уравнений (над полем )

Пусть

Матрица называется основной матрицей системы (1), матрица В — расширенной матрицей системы (1).

Система линейных уравнений называется ступенчатой, если расширенная матрица системы есть ступенчатая матрица без нулевых строк. Система линейных уравнений называется приведенной ступенчатой, если расширенная матрица системы есть приведенная ступенчатая матрица.

Если В — нулевая матрица, то любой -мерный вектор из является решением системы (1). Если же — нулевая матрица, а В — ненулевая, то система уравнений (1) несовместна.

Предположим, что матрица — ненулевая. Тогда систему уравнений (1) можно при помощи элементарных преобразований привести к ступенчатой системе, а затем к приведенной ступенчатой системе, причем эти системы будут равносильны исходной системе (1). Предположим, что столбцы образуют базис системы столбцов матрицы . При помощи цепочки элементарных преобразований приведем систему уравнений (1) к ступенчатому виду без нулевых строк. Если последнее уравнение полученной ступенчатой системы имеет вид

то полученная ступенчатая система уравнений несовместна и, следовательно, несовместна равносильная ей исходная система уравнений (1). Если же в левой части последнего уравнения полученной ступенчатой системы есть коэффициенты, отличные от нуля, то полученная ступенчатая система имеет вид

где коэффициенты отличны от нуля. Система (2) совместна и равносильна исходной системе (1).

От ступенчатой системы (2) при помощи цепочки элементарных преобразований переходим к ступенчатой системе уравнений

Система (3) совместна и равносильна исходной системе уравнений (1). Если при этом , то система уравнений (3) (и система ) имеет единственное решение Если же то система (3) равносильна системе

Уравнения системы (4) дают явное выражение переменных называемых главными, через переменные называемые свободными. Придавая в уравнениях (4) свободным переменным любые значения из поля скаляров, находим соответствующие значения главных переменных. Таким образом можно получить любое частное решение исходной системы уравнений (1), поскольку она равносильна системе (4). Поэтому вектор

называется общим решением системы уравнений (1). Вектор (5) можно записать в виде

где — частное решение системы (1). Вектор (6) также называется общим решением системы (1). Легко видеть, что векторы образуют фундаментальную систему решений однородной системы уравнений, ассоциированной с системой (1).

Множество является множеством всех решений системы уравнений (1).

Для исследования совместности данной системы линейных уравнений (1) надо расширенную матрицу В системы при помощи цепочки элементарных преобразований над строками привести к ступенчатой матрице В. Система линейных уравнений (Г) с расширенной матрицей В равносильна исходной системе уравнений (1). Система уравнений (Г) несовместна тогда и только тогда, когда строчечный ранг ее основной матрицы А меньше строчечного ранга расширенной матрицы В, т. е. когда в последней строке ступенчатой матрицы В все элементы, кроме последнего, равны нулю.