ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Математика > Алгебра и теория чисел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами.

Пусть — кольцо полиномов над полем действительных чисел

Напомним, что комплексное число , где называется мнимым, если . Если то через a будем обозначать сопряженное комплексное число .

ЛЕММА 2.1. Если f — полином из кольца и a — произвольное комплексное число, то

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 4.7.6.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть f — произвольный полином из кольца . Если — мнимый корень полинома f, то также является корнем этого полинома.

Доказательство. Пусть — корень полинома, т. е. . Тогда, по лемме 2.1,

Неприводимые над полем действительных чисел полиномы.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть f — полином, степень которого больше единицы, неприводимый над полем действительных чисел Тогда существуют такие что и полином f ассоциирован с полиномом

Доказательство. По теореме 1.7, полином f имеет хотя бы один комплексный корень. Пусть — корень полинома где Если то делит что противоречит условию неприводимости над . Следовательно, Применим к полиномам теорему о делении с остатком.

Согласно этой теореме, в кольце существуют полиномы такие, что

Полагая в этом равенстве получаем

Отсюда вытекает, что Так как то и d — О. Таким образом,

Поскольку, по условию, полином f неприводим над то степень полинома равна нулю. Следовательно, полином f ассоциирован с полиномом

СЛЕДСТВИЕ 2.4. В кольце неприводимы только полиномы первой степени и полиномы второй степени, ассоциированные с полиномами вида где а, b — любые действительные числа и

Из следствия 2.4 и теоремы 14.2.11 вытекает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.5. Любой полином f положительной степени из кольца можно единственным образом представить в виде произведения действительного числа и неприводимых над полиномов не выше чем второй степени:

СЛЕДСТВИЕ 2.6. Любой полином с действительными коэффициентами имеет четное число мнимых корней.

СЛЕДСТВИЕ 2.7. Полином нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

СЛЕДСТВИЕ 2.8. Пусть f — полином степени из Четность числа действительных корней полинома f совпадает с четностью числа .

Упражнения

1. Найдите полином наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни

2. Разложите на неприводимые множители над полем действительных чисел полиномы:

3. Разложите полином на неприводимые множители: (а) над полем над полем над полем

4. Разложите на неприводимые множйтелй над полем действительных чисел полином где .

5. Докажите, что полином делится на полином

6. Пусть - полином над полем действительных чисел, у которого старший коэффициент и свободный член имеют разные знаки. Докажите, что полином имеет хотя бы один действительный корень,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление