§ 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами.
Пусть — кольцо полиномов над полем действительных чисел
Напомним, что комплексное число , где называется мнимым, если . Если то через a будем обозначать сопряженное комплексное число .
ЛЕММА 2.1. Если f — полином из кольца и a — произвольное комплексное число, то
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 4.7.6.
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть f — произвольный полином из кольца . Если — мнимый корень полинома f, то также является корнем этого полинома.
Доказательство. Пусть — корень полинома, т. е. . Тогда, по лемме 2.1,
Неприводимые над полем действительных чисел полиномы.
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть f — полином, степень которого больше единицы, неприводимый над полем действительных чисел Тогда существуют такие что и полином f ассоциирован с полиномом
Доказательство. По теореме 1.7, полином f имеет хотя бы один комплексный корень. Пусть — корень полинома где Если то делит что противоречит условию неприводимости над . Следовательно, Применим к полиномам теорему о делении с остатком.
Согласно этой теореме, в кольце существуют полиномы такие, что
Полагая в этом равенстве получаем
Отсюда вытекает, что Так как то и d — О. Таким образом,
Поскольку, по условию, полином f неприводим над то степень полинома равна нулю. Следовательно, полином f ассоциирован с полиномом
СЛЕДСТВИЕ 2.4. В кольце неприводимы только полиномы первой степени и полиномы второй степени, ассоциированные с полиномами вида где а, b — любые действительные числа и
Из следствия 2.4 и теоремы 14.2.11 вытекает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.5. Любой полином f положительной степени из кольца можно единственным образом представить в виде произведения действительного числа и неприводимых над полиномов не выше чем второй степени:
СЛЕДСТВИЕ 2.6. Любой полином с действительными коэффициентами имеет четное число мнимых корней.
СЛЕДСТВИЕ 2.7. Полином нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
СЛЕДСТВИЕ 2.8. Пусть f — полином степени из Четность числа действительных корней полинома f совпадает с четностью числа .
Упражнения
1. Найдите полином наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни
2. Разложите на неприводимые множители над полем действительных чисел полиномы:
3. Разложите полином на неприводимые множители: (а) над полем над полем над полем