§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Распределение простых чисел.

Обозначим через число положительных простых чисел, не превосходящих действительного числа . В § 1 установлено, что существует бесконечно много простых чисел (теорема Евклида). Следовательно, при

А. Лежандр в 1808 г. опубликовал найденную им эмпирически формулу для приближенного представления функции . Лежандр высказал утверждение, что для больших значений приближенно равно

Чебышев в 1849 г. показал ошибочность этого утверждения. В работах, опубликованных в 1848 и 1850 гг., Чебышев установил связь функции с отношением Он доказал следующую теорему: существуют положительные постоянные а и b, , такие, что для всех достаточно больших

Ниже приводится доказательство теоремы: для всех выполняются неравенства

На основании неравенств (2) могут быть найдены константы а и b для неравенств (1).

Для доказательства неравенств (2) вводится функция и устанавливаются оценки сверху и снизу для функции