Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы.

Пусть дана неоднородная линейная система

над полем . Система линейных уравнений

называется однородной системой, ассоциированной с системой (1).

Пусть L — множество всех решений однородной системы (2) и с — какое-нибудь решение системы (1).

Множество обозначим через

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.15. Если решение неоднородной системы (1) сложить с решением однородной системы (2), то получится решение системы (1).

Доказательство. Пусть — решение системы (1) и — решение системы (2), т. е.

Почленно складывая эти равенства, получим равенства

которые показывают, что вектор является решением системы (1).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.16. Разность любых двух решений неоднородной системы линейных уравнений является решением ассоциированной с ней однородной системы.

Доказательство. Пусть решения неоднородной системы уравнений (1), т. е.

Почленное вычитание приводит к равенствам

которые показывают, что вектор является решением однородной системы уравнений (2).

ТЕОРЕМА 2.17. Пусть с — решение неоднородной системы линейных уравнений (1) и L — множество всех решений однородной системы (2), ассоциированной с системой (1). Тогда является множеством всех решений системы (1).

Доказательство. Пусть М — множество всех решений системы (1) и с . Каждый элемент множества можно представить в виде суммы с где . В силу предложения 2.15 . Следовательно,

Верно и обратное включение. В самом деле, если d — любое решение системы (1), то в силу предложения Поэтому следовательно,

На основании (3) и (4) заключаем, что

СЛЕДСТВИЕ 2.18. Совместная неоднородная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ассоциированная с нею однородная система уравнений имеет единственное решение (нулевое).

СЛЕДСТВИЕ 2.19. Если две неоднородные системы линейных уравнений (над полем f) с переменными совместны и равносильны, то ассоциированные с ними однородные системы уравнений равносильны.