Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.

ТЕОРЕМА 5.10. Пусть А есть -матрица над полем имеющая линейно независимых собственных векторов, и Т — матрица, столбцы которой суть линейно независимые собственные векторы матрицы А. Тогда матрица диагональна и элементы ее главной диагонали являются собственными значениями матрицы А. Доказательство. Пусть

— линейно независимые собственные векторы матрицы А, принадлежащие соответственно , т. е.

Обозначим через Т такую матрицу, что для , т. е.

Так как столбцы матрицы Т линейно независимы, то она обратима.

Из определения произведения матриц следует, что

откуда ввиду (1) имеем

Таким образом, получаем

ТЕОРЕМА 5.11. Если квадратная матрица А порядка подобна над полем диагональной матрице, то матрица А имеет линейно независимых собственных векторов.

Доказательство. Предположим, что матрица А подобна над диагональной матрице, т. е. существует такая обратимая матрица Т, что

причем . Умножив слева обе части равенства (1) на Т, получим

Следовательно,

поэтому

т. е. столбцы матрицы Т являются собственными векторами, принадлежащими соответственно Так как матрица Т обратима, то ее столбцы линейно независимы (по теореме 5.1).