Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
ТЕОРЕМА 5.10. Пусть А есть -матрица над полем имеющая линейно независимых собственных векторов, и Т — матрица, столбцы которой суть линейно независимые собственные векторы матрицы А. Тогда матрица диагональна и элементы ее главной диагонали являются собственными значениями матрицы А. Доказательство. Пусть
— линейно независимые собственные векторы матрицы А, принадлежащие соответственно , т. е.
Обозначим через Т такую матрицу, что для , т. е.
Так как столбцы матрицы Т линейно независимы, то она обратима.
Из определения произведения матриц следует, что
откуда ввиду (1) имеем
Таким образом, получаем
ТЕОРЕМА 5.11. Если квадратная матрица А порядка подобна над полем диагональной матрице, то матрица А имеет линейно независимых собственных векторов.
Доказательство. Предположим, что матрица А подобна над диагональной матрице, т. е. существует такая обратимая матрица Т, что
причем . Умножив слева обе части равенства (1) на Т, получим
Следовательно,
поэтому
т. е. столбцы матрицы Т являются собственными векторами, принадлежащими соответственно Так как матрица Т обратима, то ее столбцы линейно независимы (по теореме 5.1).