§ 2. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ

Поле частных области целостности.

Весьма важным является вопрос о возможности вложения области целостности в поле.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поле называется полем частных области целостности , если выполнены условия:

ТЕОРЕМА 2.1. Для любой области целостности существует поле частных.

Доказательство. Пусть — область целостности, и

На множестве определим бинарное отношение следующим образом:

Его мы назовем отношением сравнения на . Отношение сравнения рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Рефлексивность и симметричность очевидны. Свойство транзитивности также имеет место. В самом деле, из посылок следует, что . Умножив обе части первого равенства на f, а второго на b, получим: и, значит, Последнее равенство влечет поскольку — область целостности и Следовательно,

Таким образом, отношение сравнения является отношением эквивалентности на множестве . Класс эквивалентности, содержащий пару , обозначается через , фактор-множество — через Отметим, что для любых из

На множестве определим операции

Так как — область целостности, то из следует, что . Следовательно, множество замкнуто относительно операций . Легко видеть, что операции сложения и умножения коммутативны.

Докажем, что отношение сравнения на является конгруэнцией относительно операций и 0. Учитывая, что операции сложения и умножения коммутативны, достаточно показать, что из условия

следуют соотношения:

Проверка (S) сводится к установлению соотношения

Это соотношение сводится к равенству

в свою очередь, сводящемуся к равенству , которое получается из равенства . Последнее равенство следует из условия (2).

Проверка (4) сводится к установлению соотношения

сводящегося к равенству , которое, в свою очередь, сводится к равенству верному в силу условия (2).

Проверка (5) сводится к установлению соотношения

сводящегося к равенству , которое, в свою очередь, получается из равенства , верного в силу условия (2).

Итак, установлено, что отношение сравнения на множестве является конгруэнцией относительно операций . По теореме 3.1.9 о конгруэнциях, на фактор-множестве определяются операции следующими формулами:

причем значения так определенных операций не зависят от случайного выбора пар из классов эквивалентности соответственно.

Для любого элемента а из К положим , в частности . На основании (1) заключаем, что:

Докажем, что алгебра является полем. Непосредственная проверка показывает, что сложение в коммутативно и ассоциативно, 0 есть нейтральный элемент относительно сложения и для любого из имеем

Следовательно, алгебра есть абелева группа.

Непосредственная проверка также показывает что умножение в коммутативно и ассоциативно и 1 есть нейтральный элемент относительно умножения. Следовательно, алгебра является коммутативным моноидом.

Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения, т. е. для любых из

Необходимо показать, что

или

Последнее соотношение следует из того, что для любых при

Таким образом, алгебра является коммутативным кольцом. В кольце выполняется условие так как в поле . В кольце обратим любой элемент, отличный от 0. В самом деле, если , то . Итак, установлено, что алгебра является полем.

Поле содержит подкольцо, изоморфное кольцу . В самом деле, рассмотрим множество Это множество замкнуто в так как

для любых из . Следовательно, алгебра есть подкольцо поля Определим отображение множества в К следующим образом:

Очевидно, есть инъективное отображение множества на К. В силу (9) отображение сохраняет главные операции кольца т. е.

Таким образом, есть изоморфизм кольца на кольцо Следовательно, поле содержит подкольцо изоморфное исходному кольцу

Теперь по полю необходимо построить новое поле, изоморфное полю и содержащее подкольцо Для этого заменим в множестве каждый элемент элементом а (образом элемента при отображении , оставляя все остальные элементы множества неизменными. Положим . Обозначим через h следующее отображение множества на

Отображение k является инъективным отображением множества на F, продолжающим отображение

На множестве F определим операции формулами

Отметим, что . Рассмотрим алгебру . На основании формул заключаем, что верны формулы

Эти формулы показывают, что есть изоморфизм алгебры на поле Следовательно, алгебра является полем. При этом является подкольцом поля так как К а силу формул операции продолжают соответствующие главные операции кольца . В самом деле, для любых из К имеем:

Каждый элемент из F можно представить в виде частного элементов кольца . В самом деле, если где , то

Следовательно,

Итак, установлено, что — поле, удовлетворяющее условиям: есть подкольцо поля для всякого из F существуют в К такие элементы а, b, что Следовательно, является полем частных для области целостности