Разложение определителя по строке или столбцу.

При вычислении определителей часто используется следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5.3. Пусть . Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения, т. е.

Доказательство. Представим в виде суммы столбцов столбец А матрицы А:

По свойству 4.5 определителей, этому представлению соответствует представление в виде суммы определителей:

По лемме 5.2, первое слагаемое этой суммы равно второе — и т. д. Следовательно,

Аналогично доказывается формула (2).

Формула (1) называется разложением определителя по столбцу. Формула (2) называется разложением определителя по строке.

ТЕОРЕМА 5.4. Пусть . Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю, т. е.

Доказательство. Докажем формулу (3). Запишем А в виде

Заменив в матрице столбец произвольным вектором получим матрицу

Разложим по столбцу:

Отметим, что это равенство верно для любого набора скаляров . В частности, положив в нем получим равенство

так как матрица В будет иметь два одинаковых столбца. Аналогично доказывается формула (4).