Лемма Даламбера.

Доказательство теоремы 1.7 в значительной мере основано на следующей лемме, называемой леммой Даламбера.

ЛЕММА 1.6. Пусть — полином положительной степени над полем комплексных чисел и . Если , то существует такое комплексное число с, что

Доказательство. Пусть — полином степени . Разложим f по степеням разности :

Положим и

Пусть — ненулевой коэффициент полинома g о наименьшим положительным индексом тогда

Определим

Тогда равенство (3) можно записать в виде

В силу Обозначим через d какой-либо корень степени из числа :

Рассмотрим в (5) значения z вида

В силу (5) и (6) получаем равенства

На основании (4) заключаем, что

и

Положим теперь

Отметим, что при поскольку и d отличны от нуля.

Из (8) и (9) вытекает неравенство

Если удовлетворяет условиям то . А так как и в силу , то