Дополнение независимой системы векторов до базиса.

Возникает вопрос о возможности включения любой линейно независимой системы векторов в какой-нибудь базис.

ТЕОРЕМА 3.6.

Линейно независимую систему векторов ненулевого конечномерного векторного пространства не являющуюся базисом пространства, можно дополнить до базиса пространства

Доказательство. Пусть

— линейно независимая система, не являющаяся базисом пространства Пусть — базис пространства Рассмотрим систему

По следствию 3.3, эта система линейно зависима. Поэтому хотя бы один из векторов есть линейная комбинация предшествующих ему векторов в системе (S). Вычеркнем один из таких векторов из системы (S); получим систему

эквивалентную системе S и поэтому порождающую пространство Если содержит более элементов, то (по следствию 3.3) она линейно зависима и, значит, один из элементов является линейной комбинацией предшествующих элементов. Вычеркнем этот элемент из Получающаяся при этом система эквивалентна системе S и поэтому порождает пространство . Продолжая этот процесс, после вычеркиваний мы получаем систему векторов

эквивалентную системе S и поэтому порождающую пространство По следствию 3.4, система является базисом пространства Так как система содержит исходную систему (1), то система является искомым базисом пространства

ТЕОРЕМА 3.7. Если U — подпространство конечномерного векторного пространства то существует такое подпространство пространства 4°, что

Доказательство. Равенство (1) верно, если U — тривиальное подпространство, т. е. нулевое или совпадающее с Предположим, что — нетривиальное подпространство и

— его базис.

По теореме 3.6, систему (2) можно дополнить до базиса пространства т. е. существуют такие векторы что система

является базисом пространства Тогда

где . Докажем, что

Действительно, если , то

и поэтому

В силу линейной независимости системы (3) следует равенство нулю всех коэффициентов, в частности Следовательно, т. е. выполняется (5).

На основании (4) и (5) заключаем, что при имеет место равенство (1).

СЛЕДСТВИЕ 3.8. Если система (3) есть базис пространства , то