§ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Следствия системы линейных уравнений.

Всюду ниже — поле, поле скаляров.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Системой линейных уравнений над полем с переменными называется система вида

где

Эту систему линейных уравнений будем кратко записывать в виде

Система линейных уравнение (1) является предикатом (условием) с свободными переменными Допустимыми значениями свободных переменных всюду ниже считаются элементы поля скаляров . Этот -местный предикат является конъюнкцией более простых -местных предикатов, каждый из которых определяется одним из уравнений системы (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор из называется решением системы уравнений (1), если верны равенства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет решений, т. е. множество всех ее решений пусто.

Наряду с системой (1) рассмотрим систему (над )

Отметим, что система линейных уравнений может состоять из одного уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система уравнений (2) называется следствием системы уравнений (1), если каждое решение системы (1) является также решением системы (2).

Запись означает, что система (2) есть следствие системы (1).

Любая система линейных уравнений (над ) с переменными является следствием несовместной системы уравнений (над F) с теми же переменными.

Система линейных уравнений (2) есть следствие системы уравнений (1) тогда и только тогда, когда множество всех решений системы (1) является подмножеством множества всех решений системы (2).

Легко убедиться, что бинарное отношение следования на множестве систем линейных уравнений (над ) рефлексивно и транзитивно, т. е. является предпорядком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейное уравнение

где — произвольные элементы поля называется линейной комбинацией уравнений системы (1) с коэффициентами

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Любая линейная комбинация линейных уравнений системы уравнений (1) является следствием этой системы.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.