Размерность векторного пространства.

Одним из самых важных инвариантов векторного пространства является его размерность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размерностью ненулевого конечномерного векторного пространства называется число векторов какого-либо базиса пространства. Размерность нулевого векторного пространства считается равной нулю. Размерность векторного пространства обозначается через

Пример. Пусть — арифметическое векторное пространство над полем Векторы образуют базис пространства. Следовательно, Рассмотрим некоторые свойства размерности.

СВОЙСТВО 3.1. Если — конечномерное векторное пространство и то при любая система k векторов пространства линейно зависима.

Доказательство. Если то — нулевое пространство и свойство 3.1 выполняется.

Если же , то базис пространства состоит из векторов. По следствию 3.3, отсюда следует, что при всякая система k векторов пространства линейно зависима.

СЛЕДСТВИЕ 3.9. Если и система векторов пространства линейно независима, то

СВОЙСТВО 3.2. Если — подпространство конечномерного векторного пространства , то

Доказательство. Неравенство (1), очевидно, верно, если есть нулевое подпространство. Если же подпространство ненулевое, то (по теореме 3.5) оно конечномерно и (по теореме 3.1) обладает базисом. Пусть — базис пространства . Тогда В пространстве система векторов линейно независима. Поэтому, следствию

СВОЙСТВО 3.3. Если — подпространство конечномерного векторного пространства и то

Доказательство. Если подпространство нулевое, то Тогда в силу условия Поэтому — также нулевое векторное пространство. Следовательно,

Предположим, что — ненулевое подпространство. Тогда оно, так же как и , конечномерно и, по теореме 3.1, обладает базисом. Пусть — его базис. Тогда и, по условию, Поэтому система является также базисом пространства . Следовательно,

СВОЙСТВО 3.4. Если конечномерное векторное пространство есть прямая сумма подпространств , то

Доказательство. По условию, и, значит,

Если или — нулевые подпространства, то равенство (1), очевидно, верно.

Предположим, что — ненулевые подпространства. Пусть

— базисы пространств U и X соответственно.

Докажем, что система

является базисом пространства Ввиду (2)

Система (6) линейно независима. Действительно, для любых скаляров из равенства

в силу (7) следуют равенства

а так как системы (4) и (5) линейно независимы, из (8) следует, что Далее, в силу (3)

т. e. система (6) порождает пространство Итак, доказано, что система (6) есть базис пространства Следовательно,

Теорема 3.10. Если векторное пространство есть сумма конечномерных подпространств , то

Доказательство. Предположим, что

Если то сумма (2) прямая; следовательно, по свойству 3.4, теорема верна.

Предположим, что Тогда пространство , так же как и U, конечномерно. Пусть

— базис пространства . Дополним его до базисов пространств . Пусть

— базис пространства U и

— базис пространства

Тогда

и

На основании (4) и (6) заключаем, что

т. e. система

порождает пространство

Покажем, что система (7) линейно независима. Предположим, что

На основании (6) и (8) заключаем, что

и, значит,

В силу линейной независимости системы (5) отсюда следует, что

Из (8) и (9) следует равенство

Ввиду линейной независимости системы (3) следуют равенства

Итак, установлено, что система (7) линейно независима. Таким образом, система (7) есть базис пространства и

Ввиду (5) и (10)