Вычисление обратной матрицы.

Теперь можно обосновать наиболее простое правило вычисления обратной матрицы.

ТЕОРЕМА 2.9. Если какая-либо цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований переводит квадратную матрицу А в единичную матрицу Е, то матрица А обратима и эта же цепочка преобразований переводит матрицу Е в матрицу

Доказательство. Предположим, что есть цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований, переводящая квадратную матрицу А в единичную матрицу Е. Тогда, по свойству 2.4 элементарных матриц,

В силу предложения 2.1 отсюда следует, что матрица А обратима и

По свойству 2.4 элементарных матриц, из последнего равенства следует, что цепочка строчечных элементарных преобразований переводит матрицу Е в матрицу Теорема 2.9 дает возможность сформулировать следующее правило нахождения обратной матрицы. Для нахождения матрицы, обратной к -матрице А, надо прямоугольную -матрицу при помощи цепочки неособенных строченных элементарных преобразований привести к виду ; получающаяся при этом матрица С является обратной к матрице А.