Упражнения

1. Выяснить, являются ли следующие множества рациональных чисел замкнутыми относительно главных операций кольца рациональных чисел:

(a) множество всех четных целых чисел;

(b) множество всех натуральных чисел;

(c) множество всех рациональных чисел, знаменатели которых суть единица или четные числа;

(d) множество всех рациональных чисел с нечетными знаменателями.

2. Выяснить, являются ли следующие множества действительных чисел замкнутыми относительно главных операций кольца всех действительных чисел:

(a) множество всех чисел вида с целыми а и b

(b) множество всех чисел вида с целыми а и b

(c) множество всех чисел вида с рациональными а и b.

3. Пусть - ненулевое кольцо. Докажите, что кольцо над является некоммутативным кольцом с делителями нуля.

4. Докажите, что в кольце, состоящем из элементов, для каждого элемента а кольца

5. Докажите, что если элемент а кольца перестановочен с элементом то он перестановочен также с элементами где - целое число; если элемент а перестановочен с элементами b и с, то он перестановочен также с элементами

6. Пусть для каждого элемента а кольца Покажите, что кольцо коммутативно.

7. Пусть -гомоморфизм кольца в кольцо Покажите, что алгебра является подкольцом кольца .

8. Докажите, что для любых элементов х, у коммутативного кольца и любых целых положительных тип

9. Докажите, что алгебра, изоморфная кольцу, сама является кольцом.

10. Для произвольного кольца докажите индукцией по биномиальную теорему

где - целое положительное и