§ 2. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ

Обратимые матрицы.

Пусть А есть -матрица над полем скаляров . Если Е — единичная -матрица, то

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица В, удовлетворяющая условиям

Матрица В, удовлетворяющая этим условиям, называется обратной к А. Матрицы А и В называются взаимно обратными.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Если матрица А обратима, то существует только одна матрица, обратная к А.

Доказательство. Предположим, что В и С — матрицы, обратные к А. Тогда

Если матрица А обратима, то обратная к А матрица обозначается через Таким образом, для любой обратимой матрицы выполняются равенства

Множество всех обратимых -матриц над полем обозначается через

ТЕОРЕМА 2.2. Алгебра есть группа.

Доказательство. Единичная матрица Е, очевидно, обратима и ввиду (1) является нейтральным элементом.

Если матрица А обратима, то в силу (2) матрица также обратима.

Множество обратимых -матриц замкнуто также относительно умножения. Действительно, если , то

т. е. матрица АВ обратима над и поэтому принадлежит множеству .

Наконец, по теореме 1.1, умножение матриц ассоциативно.

СЛЕДСТВИЕ 2.3. Произведение любого числа обратимых матриц есть обратимая матрица.