Элементарные матрицы.

Введем понятие элементарной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, получающаяся из единичной матрицы в результате неособенного элементарного преобразования над строками (столбцами), называется элементарной матрицей, соответствующей этому преобразованию.

Так, например, элементарными матрицами второго порядка являются матрицы

где А — любой ненулевой скаляр.

Элементарная матрица получается из единичной матрицы Е в результате одного из следующих неособенных преобразований:

1) умножение строки (столбца) матрицы Е на отличный от нуля скаляр;

2) прибавление (или вычитание) к какой-либо строке (столбцу) матрицы Е другой строки (столбца), умноженной на скаляр.

Обозначим через матрицу, получающуюся из матрицы Е в результате умножения строки на ненулевой скаляр А:

Обозначим через матрицу, получающуюся из матрицы Е в результате прибавления (вычитания) к строке строки, умноженной на А;

Через будем обозначать матрицу, получающуюся из единичной матрицы Е в результате применения элементарного преобразования над строками; таким образом, есть матрица, соответствующая преобразованию

Рассмотрим некоторые свойства элементарных матриц.

СВОЙСТВО 2.1. Любая элементарная матрица обратима. Матрица, обратная к элементарной, является элементарной.

Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что для любого отличного от нуля скаляра А. и произвольных выполняются равенства

На основании этих равенств заключаем, что имеет место свойство 2.1.

СВОЙСТВО 2.2. Произведение элементарных матриц является обратимой матрицей.

Это свойство непосредственно следует из свойства 2.1 и следствия 2.3.

СВОЙСТВО 2.3. Если неособенное строчечное элементарное преобразование переводит -матрицу А в матрицу В, то . Верно и обрсипное утверждение.

Доказательство. Если есть умножение строки на ненулевой скаляр А, то

т. е. .

Если же , то

Легко проверить, что верно также обратное утверждение.

СВОЙСТВО 2.4. Если матрица С получается из матрицы А при помощи цепочки неособенных строчечных элементарных преобразований , то . Верно и обратное утверждение.

Доказательство. По свойству 2.3, преобразование переводит матрицу А в матрицу переводит матрицу в матрицу и т. д. Наконец, переводит матрицу в матрицу Следовательно, .

Легко проверить, что верно и обратное утверждение. Условия обратимости матрицы. Для доказательства теоремы 2.8 необходимы следующие три леммы.

ЛЕММА 2.4. Квадратная матрица с нулевой строкой (столбцом) необратима.

Доказательство. Пусть А — квадратная матрица с нулевой строкой, В — любая матрица, . Пусть — нулевая строка матрицы А; тогда

т. е. i-я строка матрицы АВ является нулевой. Следовательно, матрица А необратима.

ЛЕММА 2.5. Если строки квадратной матрицы линейно зависимы, то матрица необратима.

Доказательство. Пусть А — квадратная матрица с линейно зависимыми строками. Тогда существует цепочка неособенных строчечных элементарных преобразований, переводящих А в ступенчатую матрицу; пусть такая цепочка. По свойству 2.4 элементарных матриц, имеет место равенство

где С — матрица с нулевой строкой.

Следовательно, по лемме 2.4 матрица С необратима. С другой стороны, если бы матрица А была обратимой, то произведение слева в равенстве (1) было бы обратимой матрицей, как произведение обратимых матриц (см. следствие 2.3), что невозможно. Следовательно, матрица А необратима.

СЛЕДСТВИЕ 2.6. Если квадратная матрица обратима, то ее строки линейно независимы.

ЛЕММА 2.7. Квадратную матрицу с линейно независимыми строками можно представить в виде произведения элементарных матриц.

Доказательство. Пусть А — квадратная матрица с линейно независимыми строками. Существует цепочка строчечных неособенных элементарных преобразований переводящая матрицу А в единичную матрицу Е. По свойству 2.4 элементарных матриц отсюда следует, что Следовательно, причем, по свойству 2.1 элементарных матриц, множители являются элементарными матрицами.

ТЕОРЕМА 2.8. Для любой квадратной матрицы равносильны следующие три утверждения:

(a) матрица А обратима;

(b) строки (столбцы) матрицы А линейно независимы,

(c) матрицу А можно представить в виде произведения элементарных матриц.

Доказательство. По следствию леммы 2.5, из (а) следует (b). Далее, по лемме 2.7, из следует (с). Наконец, в силу свойства 2.2 элементарных матриц и следствия 2.3 из следует (а). Следовательно, утверждения (а), равносильны.