Операции над линейными отображениями.

Пусть U и — векторные пространства над полем — линейные отображения U в

Сумма определяется как отображение в ставящее в соответствие элементу из U элемент из т. е.

Произведение скаляра и отображения определяется как отображение в ставящее в соответствие элементу элемент пространства .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Пусть и линейные отображения векторного пространства в векторное пространство и . Тогда являются линейными отображениями в

Доказательство. Сумма удовлетворяет условиям линейности. Действительно, для любых и любого имеем:

Таким образом, есть линейное отображение в

Произведение удовлетворяет условиям линейности. Действительно, для любых a, b и любого имеем:

Следовательно, есть линейное отображение в

СЛЕДСТВИЕ 1.6. Множество замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры.