Обобщенный закон ассоциативности.

Пусть А. Пусть — последовательность элементов из А. Символом

обозначим композицию последовательности элементов, определяемую индуктивно следующим образом:

Согласно этому определению,

Если закон композиции — умножение, то композиция элементов называется произведением и обычно обозначается через при аддитивной записи композиция элементов называется суммой и обычно обозначается через

Если бинарная операция на множестве А ассоциативна, то легко показать, что

В случае ассоциативной бинарной операции на А при рассмотрении композиции любой последовательности элементов из А можно любым образом расставлять скобки, как показывает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть А — множество с ассоциативной бинарной операцией и — последовательность элементов из А. Пусть , где — натуральные числа, и

тогда

Доказательство (проводится индукцией по ). Если то теорема, очевидно, верна. Предположим, что теорема верна, если последовательность содержит не более элементов.

Первый случай: . В этом случае По определению,

По индуктивному предположению,

следовательно,

Второй случай: . В этом случае

где и

следовательно,

Рассмотрим тот частный случай, когда бинарная ассоциативная операция на множестве А есть умножение и , где . Тогда, по определению,

СЛЕДСТВИЕ 1.2. Пусть А — множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией, умножением, и . Тогда для любых отличных от нуля натуральных чисел тип имеем:

Рассмотрим также случай, когда бинарная ассоциативная операция на множестве А называется сложением и где . Тогда, по определению,

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть А — множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией, сложением и . Тогда

для любых отличных от нуля натуральных чисел .