Упражнения

1. Покажите, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого сомножителя.

2. Пусть А у В — квадратные матрицы порядка . Покажите, что уравнения и где — искомая матрица, неразрешимы, когда ранг матрицы В больше ранга матрицы А.

3. Пусть А, В — прямоугольные матрицы, имеющие одинаковое число строк, и С — матрица, получаемая из матрицы А приписыванием к ней справа матрицы В. Докажите, что матричйое уравнение , где искомая матрица, разрешимо тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы С.

4. Пусть — матричное уравнение, где -искомая матрица, и — какое-нибудь его решение. Докажите, что каждое решение матричного уравнения может быть записано в виде — решение однородного уравнения и обратно.

5. Найдите все комплексные матрицы, квадраты которых равны нулевой матрице.

6. Исследуйте уравнение где — данная и — искомая матрицы второго порядка.

7. Найдите все комплексные матрицы второго порядка, квадраты которых равны единичной матрице.

8. Пусть — -матрицы. Докажите, что

9. Пусть А и В — матрицы, имеющие одинаковое число строк, и С—матрица, получающаяся из А приписыванием к ней всех столбцов матрицы В. Докажите, что .

10. Покажите, что если произведение АВ есть неособенная матрица, то матрицы А и В — также неособенные.

11. Пусть А — неособенная квадратная матрица порядка . Покажите, что для любой квадратной матрицы В порядка матрицы АВ, В и ВА имеют один и тот же ранг.

12. Пусть А, В -матрицы рангов и s соответственно. Докажите, что

13. Докажите, что матрица обратима тогда и только тогда, когда

14. Докажите, что если матрица 1 обратима, то

15. Докажите, что каждая треугольная матрица А (надполем) с ненулевыми элементами на главной диагонали обратима и матрица треугольна.

16. Пусть — неособенные -матрицы над полем Покажите, что равенства равносильны между собой.

17. Пусть А — -матрица над полем Докажите, что:

существует такая -матрица , что где — единичная -матрица, тогда и только тогда, когда ранг А равен

существует -матрица такая, что , где — единичная -матрица, тогда и только тогда, когда ранг А равен .

18. Пусть А — треугольная -матрица (над полем S), у которой все элементы на главной диагонали равны единице. Пусть где — единичная -матрица. Докажите, что:

(а)

(b) матрица А обратима и

(с)

19. Пусть —треугольная матрица (над полем) с ненулевыми элементами на главной диагонали. Докажите, что матрица обратима.

20. Найдите условия, которым должна удовлетворять квадратная матрица с целыми элементами, чтобы все элементы обратной матрицы были целыми.

21. Пусть — квадратная -матрица и —матрица, присоединенная к . Докажите, что:

если — особенная матрица, то матрица нулевая;

(b) , если — обратимая матрица;

(c) есть особенная матрица тогда и только тогда, когда матрица является особенной;

(d)

если матрица симметрическая или кососимметрическая, то также симметрическая или кососимметрическая;

если —треугольная матрица, то также треугольная.

22. Пусть —матрица, присоединенная к -матрице , Докажите, что:

если ранг , то есть нулевая матрица;

если имеет ранг то ранг А равен 1;

если имеет ранг , то ранг равен .

23. Пусть есть треугольная -матрица над полем Докажите, что матрица обратима тогда и только тогда, когда отличны нуля все элементы матрицы А, расположенные на главной диагонали