Однородные системы линейных уравнений.

Рассмотрим однородную систему уравнений над полем

Пусть

— матрица, составленная из коэффициентов при переменных и называемая основной матрицей системы (1), и — столбцы этой матрицы. Уравнение (над ).

где 0 — нулевой вектор-столбец, называется векторной формой записи системы уравнений (1).

По следствию 2.11, однородная система уравнений (1) равносильна уравнению (2).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.6. Если матрица А однородной системы уравнений (1) имеет ранг — базис системы ее строк, то система (1) равносильна системе

состоящей из первых уравнений системы (1).

Доказательство. Так как первые строк матрицы образуют базис системы строк этой матрицы, то каждое уравнение системы (1) есть линейная комбинация уравнений (3). Кроме того, система (3) есть следствие системы (1). Следовательно, системы (1) и (3) равносильны.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.7. Однородная система линейных уравнений с матрицей А имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда столбцы матрицы А линейно зависимы.

Это предложение непосредственно вытекает из следствия 2.11.

СЛЕДСТВИЕ 3.8. Однородная система линейных уравнений с переменными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше .

СЛЕДСТВИЕ 3.9. Если число уравнений однородной системы линейных уравнений меныие числа переменных, то система имеет ненулевые решения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.10. Множество всех решений однородной системы замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения на скаляры. Любая линейная комбинация решений однородной системы уравнений является решением этой системы.

Доказательство предложения 3.10 предоставляется читателю.