Научная библиотека

§ 4. Системы линейных уравнений общего вида

1. Однородные системы.

Теорема 1. Для того чтобы система линейных однородных уравнений

имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных.

Доказательство. Система может быть записана в виде одного равенства

где — столбцы матрицы коэффициентов. Нетривиальные решения системы порождают коэффициенты нетривиальных линейных зависимостей между столбцами. Для их существования необходимо и достаточно, чтобы ранг был меньше числа столбцов, т. е. числа неизвестных.

2. Строение множества решений системы линейных однородных уравнений.

Сейчас нам удобно представить систему в виде

где А — матрица коэффициентов, — столбец из неизвестных.

Предложение 2. Если столбцы — решения системы то любая их линейная комбинация тоже есть решение.

Действительно,

Теорема 3. Все решения линейной однородной системы являются линейными комбинациями линейно независимых решений, где — число неизвестных, — ранг матрицы коэффициентов.

Доказательство. Запишем снова систему в форме

где — столбцы матрицы коэффициентов. Среди них имеется базис из столбцов. Для удобства записи будем считать, что это иначе можно изменить нумерацию неизвестных и, вместе с ними, столбцов. Запишем, что суть линейные комбинации . Это приводит к равенствам

откуда следует, что столбцы дают решения системы. Они, очевидно, линейно независимы. Пусть — еще какое-нибудь решение системы. Тогда тоже является решением системы. В этом решении все компоненты, начиная с равны 0. Следовательно, и все остальные компоненты равны нулю, ибо столбцы линейно независимы. Итак, т. е.

Таким образом, — такие линейно независимые решения, что все решения являются их линейными комбинациями. Такая совокупность решений называется базисной или фундаментальной.

Буквенное выражение, которое при частных значениях для букв дает все решения данной системы уравнений, называется общим решением этой системы. Для системы линейных однородных уравнений общим решением будет линейная комбинация фундаментальной системы с буквенными коэффициентами.

3. Неоднородные линейные системы.

С неоднородной линейной системой

связываются две матрицы: матрица коэффициентов

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами

Теорема 4 (Кронекера — Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений была совместной {т. е. имела хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство, Записав систему уравнений в виде

где — столбцы матрицы коэффициентов и b — столбец свободных членов, мы видим, что для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы столбец b был линейной комбинацией столбцов . Для этого равенство рангов, конечно, необходимо, но оно и достаточно, ибо если ранги одинаковы, то базис для будет базисом и для b, так что b есть линейная комбинация базисных столбцов для

4. Строение множества решений неоднородной системы.

Теорема 5. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме частного решения и общего решения однородной системы с той же матрицей коэффициентов.

Доказательство. Пусть — какое-либо частное решение системы линейных неоднородных уравнений. Тогда и система равносильна Поэтому должно быть решением однородной системы с той же матрицей А. Общее решение системы получится, если взять равным общему решению однородной системы. Отсюда непосредственно следует справедливость теоремы.

5. Метод Гаусса.

Рассмотрим метод решения системы линейных уравнений путем сведения его к решению системы с трапециевидной (в частности, с треугольной) матрицей коэффициентов — так называемый метод Гаусса. Пусть

— система линейных уравнений. Уравнение

называется линейной комбинацией уравнений данной системы. Очевидно, что каждое решение исходной системы будет решением и для линейной комбинации.

Две системы линейных уравнений называются линейно эквивалентными, если каждое уравнение первой системы есть линейная комбинация уравнений второй системы и каждое уравнение второй системы есть линейная комбинация уравнений первой системы. Линейно эквивалентные системы эквивалентны и в обычном смысле — они одновременно совместны или несовместны и, в случае совместности, имеют одинаковые множества решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называем умножение уравнения на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число. Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в линейно эквивалентную.

Теорема 6. Любая система линейных уравнений приводится посредством элементарных преобразований и, быть может, изменения нумерации неизвестных к системе с трапециевидной матрицей. В частности, для системы уравнений с неизвестными с не равным нулю определителем матрицы коэффициентов система приводится к системе с треугольной матрицей.

Доказательство. Сделаем последовательность элементарных преобразований так, чтобы матрица коэффициентов привелась к трапециевидной форме. Возможно, что при этом придется изменить нумерацию неизвестных (и соответствующих столбцов матрицы коэффициентов). Если ранг матрицы коэффициентов меньше числа уравнений , то система примет вид:

Равенства, следующие за уравнением, могут быть противоречивы, если хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Если же все они равны нулю, то последние равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если то неизвестным можно придавать произвольные значения. Неизвестные найдутся из решения системы с треугольной матрицей Эту систему удобно решать, определив из уравнения затем из и т. д. Если сохранить за неизвестными буквенные обозначения, мы можем выразить через них и получить решение системы.

Если , то система (в случае совместности) имеет единственное решение.

Если , т. е. если матрица коэффициентов системы квадратная с не равным нулю определителем, этим способом ре-Тшение системы сводится к решению системы с треугольной матрицей

при . Обычно добиваются того, чтобы Для этого каждый раз, прежде чем добавлять с нужными множителями уравнение к последующим, делят обе части уравнения на коэффициент при исключаемой неизвестной (схема единственного деления метода Гаусса). Преобразование системы к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке называется обратным ходом. Легко подсчитать, что число арифметических действий при применении метода Гаусса ненамного больше числа арифметических действий для вычисления одного определителя. Метод Гаусса до настоящего времени остается одним из лучших методов решения систем линейных уравнений.