Научная библиотека

6. Теорема Бине — Коши.

Пусть произведение двух прямоугольных матриц есть матрица квадратная.

Это будет в том и только в том случае, когда не только число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, но и число строк первой равно числу столбцов второй:

В этой ситуации имеет место следующая теорема, называемая теоремой Бине — Коши.

Теорема 3. Определитель матрицы АВ равен нулю, если , и равен сумме произведений всех миноров порядка матрицы А на соответствующие миноры m-го порядка матрицы В, если .

Соответствие миноров понимается здесь в следующем смысле: номера столбцов матрицы А, составляющие минор, совпадают с номерами строк матрицы В, из которых составляется соответствующий минор.

В формульной записи:

где — минор матрицы А, составленный из столбцов с номерами — минор матрица В, составленный из строк с номерами

Теорему Бине — Коши можно доказать аналогично доказательству теоремы об определителе произведения двух квадратных матриц (которая, конечно, есть частный случай теоремы Бине — Коши). Однако при этом пришлось бы воспользоваться теоремой Лапласа в общей формулировке.

Приведем доказательство, основанное на другой идее. Запишем подробно

Теперь применим свойство линейности определителя к первому столбцу. Получим

где у всех определителей столбцы, начиная со второго, такие же, как в исходной форме.

Применим теперь свойство линейности ко вторым столбцам определителей, составляющих эту сумму. Получим

где индексы пробегают независимо значения . Здесь у всех определителей столбцы, начиная с третьего, такие же, как в исходной форме .

Тем же способом продолжаем разложение определителя на сумму определителей, применяя свойство линейности к третьим, столбцам. Получим в результате

где индексы принимают независимо друг от друга все значения от 1 до . Здесь всего слагаемых. Вынесем из каждого столбца общий множитель. Получим

Если то индексам будет «настолько тесно», что среди их значений будет находиться хотя бы одна пара равных. Но тогда все определители, входящие в слагаемые будут равны нулю как имеющие равные столбцы. Поэтому при .

Пусть теперь Если среди значений индексов найдется хотя бы одна пара равных, то соответствующее слагаемое равно нулю. Все такие слагаемые можно отбросить и останется сумма, распространенная на попарно различные значения индексов . Наборы таких значений могух отличаться как составом значений, так и порядком, если состав один и тот же. Такие наборы носят название размещений. Обозначим через набор значений индексов он, расположенных в порядке возрастания: так что при одном и том же составе значения индексов будут образовывать перестановки элементов

Проведем сначала суммирование по всевозможным наборам одинакового состава, т. е. по перестановкам элементов а затем сложим получившиеся суммы по возможным составам.

Получим

где во внутренней сумме суммирование ведется по всем наборам составляющим перестановки чисел пределах внутренней суммы определители отличаются только порядком столбцов. Приведя столбцы в порядок возрастания значений индексов, получим:

так что

Во все слагаемые внутренней суммы входит сомножителем один и тот же определитель. Его можно вынести за знак суммьп

После вынесения минора матрицы А за знак внутренней суммы осталось драгоценное наследство в виде множителя наличие которого позволяет заключить, что внутренняя сумма равна определителю

Действительно, она есть сумма всевозможных произведений элементов матрицы этого определителя, взятых по одному из каждой строки (ведь (ось ) пробегает всевозможные перестановки чисел ) и по одному из каждого столбца.

Сомножители записаны в порядке следования столбцов, а есть число инверсий в номерах строк. Итак,

что и требовалось доказать.

Приведем один интересный пример. Пусть

Здесь — комплексные числа, — сопряженные с ними Имеем:

Вспомним, что произведение комплексного числа на сопряженное равно квадрату его модуля, и заметим, что элементы побочной диагонали АВ комплексно сопряжены. Поэтому

По теореме Бине — Коши

Сравнивая результаты, получаем тождество

откуда следует известное неравенство

причем равенство возможно, только если для всех , т. е. если строки матрицы А пропорциональны.