5. Присоединение единицы.

Единицей алгебры А называется элемент 1, удовлетворяющий требованиям при любом . Единица в алгебре может существовать, может и не существовать. Если существует, то только одна: если — две единицы, то так как — единица, и , ибо Г — тоже единица, т. е. .

Однако всегда можно погрузить алгебру А в алгебру на единицу большей размерности так, что в алгебре А единица есть. Действительно, положим и введем в А умножение по правилу: при любых . Ясно, что введенное умножение билинейно, так что — алгебра. Далее, так что есть единица алгебры . Действия над элементами из А внутри не отличаются от действий над ними внутри А.

Переход от алгебры А к алгебре называется внешним присоединением единицы. Если в исходной алгебре А единица была, то в расширенной алгебре она перестает быть единицей. Ясно, что алгебра А является двусторонним идеалом для и факторалгебра изоморфна полю К.

Легко проверяется, что если алгебра А ассоциативна, то и А ассоциативна; если А коммутативна, то и коммутативна. Но, например, антикоммутативность (и лиевость) алгебры не сохраняется при внешнем присоединении единицы, так что эта операция для антикоммутативных (и лиевых) алгейр не целесообразна.