Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12. Оператор проектирования.

Пусть . Тогда любой вектор однозначно представляется в виде при и . Вектор называется проекцией вектора на Р параллельно Q, вектор у, соответственно, — проекцией вектора z на Q параллельно Р. Если , то , так что . Переход от вектора 2 к вектору называется оператором проектирования или проектором. Если , то . Поэтому оператор проектирования линеен. Далее, если , то его разложение на векторы из Р и Q есть . Следовательно, оператор проектирования действует на векторы из Р как единичный оператор, а на векторы из Q — как нулевой.

Пусть — оператор проектирования S на Р параллельно Q. Тогда при любом вектор принадлежит Р, так что . Таким образом, оператор аннулирует все векторы из S, и тем самым .

Оператор для которого называется идемпотентным. Таким образом, оператор проектирования идемпотентен.

Справедливо и обратное, любой идемпотентный оператор, отличный от 0 и есть оператор проектирования. Действительно, пусть . Обозначим . Для любого верно равенство при Следовательно, . Остается доказать, что эта сумма прямая. Пусть . Тогда при некоторых Из первого представления следует, что , из второго, что . Таким образом, . Следовательно, из равенства при следует, что есть проекция вектора на Р параллельно Q.

В базисе, составленном из базисов Р и Q, оператор проектирования имеет диагональную матрицу, ибо все векторы из Р являются собственными векторами для собственного значения 1, а все векторы из Q — собственные векторы для собственного значения 0. Поэтому матрица имеет вид

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление