2. Действия над операторами.

Векторное пространство над полем К, для элементов которого определено действие умножения, сопоставляющее упорядоченной паре векторов третий вектор, называемый их произведением, называется алгеброй над К, если выполнены соотношения билинейности произведения:

Таким образом, в алгебре соединяются структуры векторного пространства и кольца, согласованные свойствами билинейности. Алгебра называется ассоциативной, если действие умножения ассоциативно. Примером ассоциативной алгебры служит алгебра квадратных матриц с элементами из поля К.

Операторы, действующие из S в S, образуют, очевидно, алгебру, ибо они образуют векторное пространство и для них определено действие умножения, удовлетворяющее соотношениям билинейности. Алгебра операторов ассоциативна. Роль единицы в ней играет единичный оператор сопоставляющий каждому вектору самого себя.

Оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нуля или, что то же самое (в силу зависимости между размерностями ядра и образа), если S отображается на все S. Для невырожденного оператора существует обратный.

Алгебра операторов из S в S изоморфна алгебре квадратных -матриц, где Изоморфизм задается сопоставлением каждому оператору его матрицы относительно некоторого фиксированного базиса. Единичному оператору при этом соответствует единичная матрица, невырожденным операторам — невырожденные матрицы и взаимно обратным операторам — взаимно обратные матрицы.

Для дальнейшего нам будут нужны значения полиномов от оператора.

Именно, если то положим Ясно, что матрицей (по отношению к некоторому базису) оператора является где А — матрица оператора