Научная библиотека

§ 3. Линейные функции

1. Сопряженное пространство.

Линейными функциями на векторном пространстве S называются функции, определенные на векторах этого пространства со значениями в основном поле К, удовлетворяющие условию линейности: . Пусть в S выбран базис . В силу линейности значение функции I на любом векторе определяется значениями на базисе; действительно, если — столбец из координат вектора так что , то . Ясно, что любая функция, выражаемая через координаты по формуле будет линейной функцией. Таким образом, между линейными функциями на S и строками в формуле имеется взаимно однозначное соответствие. Значение функции на векторе равно произведению строки из коэффициентов линейной функции на столбец из координат вектора

Для линейных функций естественным образом определяются действия сложения и умножения на элементы основного поля, именно, по определению, По отношению к этим действиям линейные функции образуют векторное пространство, называемое сопряженным с пространством S и обозначаемое S. Оно, очевидно, изоморфно пространству строк коэффициентов линейных функций и, следовательно, -мерно, так же как S. Однако естественного изоморфизма между , который бы не зависел от выбора базиса, не существует.

Элементы естественно порождают линейные функции на пространстве S, если считать Поэтому S изоморфно погружается в Образ при этом погружении совпадает с пространством ибо размерности пространств S и (S равны. Это позволяет рассматривать пространство S как сопряженное с пространством

Линейные функции на пространстве S называют также ковекторами. В этой терминологии значение линейной функции на векторе называется скалярным произведением ковектора на вектор вектора на ковектор.

2. Дуальный базис.

Пусть в пространстве S выбран базис, Покажем, что в S существует базис, в котором координатами ковектора оказываются коэффициенты в выражении значения линейной функции через координаты вектора.

Обозначим через функцию, сопоставляющую каждому вектору из S его координату в выбранном базисе Ясно, что — линейная функция и при . Тогда

Таким образом, коэффициенты оказываются координатами ковектора I в базисе Этот базис называется дуальным с базисом пространства S. Если рассматривать S как пространство, сопряженное с S, то, очевидно, базисом, дуальным с базисом является исходный базис

3. Преобразование координат в S* при преобразовании координат в S.

Пусть в S выбран новый базис ей связанный с исходным соотношениями

Тогда координаты в исходном базисе выражаются через координаты в новом базисе по формулам:

Линейная функция с координатами в базисе, дуальном с исходным, выразится через новые координаты вектора по формуле:

так что координаты в базисе, дуальном с базисом , равны:

Тем самым формула преобразования совпадает с формулой перехода от исходного базиса к новому. Как говорят, координаты ковектора изменяются ковариантно с изменением базиса пространства S, в отличие от координат вектора, которые, как мы видели выше, изменяются контравариантно.