§ 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени

Этот параграф имеет скорее историческое, чем научное значение. Правила решений алгебраических уравнений первой и второй степени были известны еще в античные времена. Для уравнений более высоких степеней были известны лишь некоторые приемы решения уравнений частных видов. В 16-м веке в Италии несколькими математиками одновременно был открыт способ алгебраического решения кубических уравнений. Он был опубликован не первооткрывателем метода, но выдающимся разносторонним ученым Кардано, имя которого известно теперь каждому автомобилисту и трактористу, так как Кардано изобрел простое и практичское приспособление для передачи вращения с одного вала на другой, не жестко скрепленный с первым. Ученики Кардано обнаружили, что решение общего уравнения четвертой степени можно свести к решению кубического уравнения и нескольких квадратных.

1. Алгебраическое решение уравнений третьей степени.

Общее кубическое уравнение имеет вид

Мы будем считать, что коэффициенты — комплексные числа, и задача состоит в отыскании комплексных корней. Без нарушения общности можно считать, что ибо и на него можно поделить обе части уравнения. Сделаем замену Получим и, раскрывая скобки и приведя подобные члены придем к уравнению

Обозначив придем к уравнению

Для дальнейшего исследования нужна следующая элементарная лемма: существует пара чисел с наперед заданными суммой а и произведением Именно, эти числа являются корнями квадратного уравнения

Положим теперь . Уравнение примет вид или

Положим . Тогда . Ясно, что если то будет удовлетворять уравнению Таким образом, нам нужно решить систему

Возведем второе уравнение в куб: Мы получили, что для известны сумма и произведение. Поэтому числа находятся как корни квадратного уравнения

откуда

и

Для у получается так называемая формула Кардано:

Для каждого из кубических корней в поле комплексных чисел имеются три значения и для обоих корней имеется девять комбинаций. Однако из них нужно сохранить только те, для которых т. е. брать . Обозначим через первообразные кубические корни из 1, т. е. . Пусть — одна подходящая пара значений для . Остальные значения для а будут и соответствующие значения для будут . Поэтому формула Кардано дает три корня уравнения:

Пример

При извлечении кубических корней нужно помнить, что их произведение должно равняться — Поэтому, взяв для первого корня значение , для второго нужно взять

Корни данного уравнения суть:

Пример 2.

Нужно помнить, что произведение кубических корней должно равняться — так что, взяв для первого корня значение —1, для второго нужно взять —3. Корни данного уравнения суть:

Данный пример решился очень благополучно, что является скорее исключением, чем правилом, как будет видно из дальнейшего исследования.