§ 3. Результант

1. Определение результанта при помощи симметрических полиномов.

Для двух полиномов , можно построить полином от их коэффициентов так, что обращение его в нуль происходит в том и только в том случае, когда и g не взаимно просты, т. е. если они имеют общий корень в надлежащем расширении; основного поля.

Пусть — корни полинома f. Симметрический полином от обращается в нуль в том и только в том случае, когда один из корней полинома f является корнем полинома g. В высший член этого полинома входит с показателем , поэтому является чюлиномом от коэффициентов f и, очевидно, полиномом от коэффициентов g. Этот полином называется результантом полиномов и g и обозначается .

Определение результанта кажется не симметричным по отношению к полиномам и g. В действительности это определение «почти симметрично», именно, . Для доказательства этой формулы введем в рассмотрение корни полинома g, так что . Тогда

Далее, так что

Отметим еще некоторые свойства результанта. Прежде всего что результант является однородным полиномом степени коэффициентов полинома g и, в силу соотношения однородным полиномом степени от коэффициентов полинома

Далее, назовем весом одночлена число . Ясно, что веса коэффициентов равны степеням соответствующих - основных симметрических полиномов от и веса равны степеням соответствующих основных симметрических полиномов от веса же считаются равными нулю. Поэтому вес одночлена равен полной степени этого одночлена, рассматриваемого как полином от . Но результант есть однородный полином степени относительно

Поэтому веса всех одночленов, составляющих результант, одинаковы и равны

В качестве примера приведем результант полиномов Вычисления здесь не представляют труда, и мы выпишем результат этих вычислений: