§ 2. Закон инерции квадратичных форм

3 этом и следующем параграфах речь будет идти только о квадратичных формах с вещественными коэффициентами и о линейных подстановках переменных с вещественными коэффициентами.

1. Положительно определенные квадратичные формы.

Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Примером положительно определенной формы от переменных может служить форма

Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением нулевого значения при нулевых значениях переменных.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Так форма положительно полуопределена. Форма как форма от двух переменных Положительно определена, но как форма от трех переменных лишь полуопределена.

Квадратичные формы, принимающие, как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

Для ненулевая квадратичная форма либо положительно определена (при либо отрицательно определена (при ). Неопределенные формы появляются, начиная с

Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы после приведения ее к каноническому виду все коэффициенты при квадратах новых переменных были положительны.

Доказательство. Пусть форма преобразуется в каноническую посредством линейной подстановки с невырожденной матрицей:

Эта подстановка обратима:

Если , то неравенство невозможно, а равенство возможно только при и, следовательно, при .

Если , то, взяв при мы можем найти соответствующие значения переменных причем они не будут равны нулю одновременно. Тогда

Теорема доказана как в части достаточности, так и в части необходимости условия.

Отметим в качестве следствия, что если при некотором преобразовании формы к каноническому виду все коэффициенты при квадратах новых переменных положительны, то и при всяком другом преобразовании коэффициенты канонической формы будут все положительны.