2. Другой способ построения результанта.

Для взаимной прос тоты полиномов

необходимо и достаточно, чтобы не существовало отличных от нуля полиномов и q, степени которых меньше тип соответственно, и таких, что

Действительно, если взаимно просты, то из равенства следует, что делится на g и q делится на f, а это при сделанных ограничениях на степени возможно только при Если же f и g не взаимно просты и — их общий делитель, то можно взять

Попытаемся найти полиномы и q способом неопределенных коэффициентов, т. е. найдем уравнения, которым должны удовлетворять коэффициенты полиномов q.

Пусть

Будем считать, для определенности, что . Приравнивая к нулю коэффициенты при степенях в полиноме получим систему линейных однородных уравнений относительно

Матрица М из коэффициентов этой системы, как легко видеть, равна

Элементы выше и элементы ниже и ниже все равны нулю.

Для существования отличных от нуля полиномов и q, т. е. для того чтобы полиномы были не взаимно просты, необходимо и достаточно, чтобы . Таким образом, играет такую же роль, как результант R(f, g).

Теорема 1. .

Сперва предположим, что попарно различны. Умножим матрицу слева на матрицу:

Определитель этой матрицы равен

При выполнении умножения L на М примем во внимание, что .

Получим:

В нижних клетках выше и выше находятся нули. Поэтому

Поделив обе части равенства на , получим

Равенство установлено в предположении, что попарно различны, а это равносильно тому, что дискриминант полинома f отличен от нуля.

Итак, оба являются полиномами от коэффициентов и g и они принимают одинаковые значения при условии, что полином отличен от нуля. По предложению о несущественности алгебраических неравенств (стр. 71) равны тождественно.