Научная библиотека

§ 4. Корни из единицы

1. Формула для корней из единицы.

Как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, для числа 1 существует ровно я значений корня степени. Так как то для корней степени из 1 имеет место формула

Конечно, в качестве значений для k может быть взята любай полная система вычетов по модулю .

2. Геометрическое изображение.

Все корни из 1 имеют модуль, равный 1, так что их изображения находятся на окружности радиуса 1 с центром в точке 0. Один из них при есть просто число 1 и изображается точкой пересечения положительной полуоси вещественной оси с единичной окружностью. Корень имеет своим аргументом , т. е. часть полной окружности.

Дальнейшие корни имеют своими аргументами части окружности, так что они все делят единичную окружность на равных частей (рис. 6).

Рис. 6.

Все корни степени из 1 являются корнями уравнения По этой причине уравнение носит название уравнения деления круга.

3. Первообразные корни n-й степени из 1.

Корень степени из 1 называется первообразным или принадлежащим показателю , если он не является корнем из 1 с меньшим чем натуральным показателем. Другими словами, есть первообразный корень степени из при любом натуральном

Число есть, очевидно, первообразный корень степени из 1, но при существуют и другие первообразные корни. Именно, верна следующая теорема.

Теорема 1. Число есть первообразный корень степени из 1 в том и только в том. случае, если взаимно просты.

Действительно, всегда. Пусть взаимно просты и пусть , где m — натуральное число. Тогда — при целом t делится на . Но взаимно просты.

Следовательно, делится на и потому не может быть меньше . Поэтому ем есть первообразный корень степени из 1.

Предположим теперь, что есть первообразный корень степени из 1, и пусть Тогда

Отсюда следует, что , т. е. взаимно просты, иначе не первообразный корень.

Из доказанной теоремы следует, что число первообразных корней степени из 1 равно числу меньших и взаимно простых чисел, т. е. оно равно, значению функции Эйлера. Например, при имеется четыре первообразных корня:

Предложение 2. Число является первообразным корнем из 1 степени где .

Действительно, пусть Тогда числа взаимно просты и есть первообразный корень степени из 1 в силу только что доказанной теоремы.

Итак, среди корней степени из 1 присутствуют первообразные корни из 1, принадлежащие всем показателям — являющимся делителями . Например, среди корней 12-й степени из 1 присутствуют первообразные корни степени степени , степени степени 3 (84 и ), степени и степени

4. Свойства корней из 1.

Предложение 3. Произведение двух корней степени из 1 есть корень степени из 1.

Доказательство. Пусть — корни степени из 1. Это значит, что Но тогда и — тоже корень степени из 1.

Предложение 4. Число, обратное корню степени из 1, есть корень степени из 1.

Доказательство. Если то

Эти два предложения означают, что корни степени из 1 образуют абелеву группу относительно умножения.

Предложение 5. Пусть — любой первообразный корень степени из 1. Тогда всякий корень степени из 1 получается из возведением в некоторую степень с натуральным показателем.

Доказательство. Пусть — какой-либо первообразный корень степени из 1. Тогда при любом целом k число будет корнем степени из 1, ибо Рассмотрим числа Все они суть корни степени из 1. Среди них нет равных, ибо если при то что невозможно, ибо есть натуральное число, меньшее , а — первообразный корень степени .

Итак, числа — попарно различные корни степени из 1, и их число равно , т. е. равно числу всех корней степени из 1. Поэтому суть все корни степени из 1, что и требовалось доказать.

Заметим, что сопоставление целому числу k корня из 1 соотносит одному корню класс чисел по модулю , и, так как при умножении степеней показатели складываются, сумме классов соответствует произведение корней. Тем самым группа корней степени из 1 изоморфна группе классов вычетов по модулю относительно сложения.

Предложение 6. Все значения получаются из одного значения посредством умножения на все корни степени из 1.

Доказательство. Пусть . Тогда так что есть корень степени из 1 и Обратно, если есть корень степени из

Последнее предложение показывает, что корни степени из 1 при действии извлечения корня степени из комплексного числа играют такую же роль, как знаки ± при извлечении квадратного корня. Это естественно, так как постановка знаков ± равносильна умножению на ±1, т. е. на корни степени 2 из 1.

5. Алгебраическое вычисление некоторых корней из 1.

При нескольких малых показателях корни из 1 легко вычисляются. Ясно, что квадратные корни из -1 суть ±1. Корни 4-й степени равны, очевидно,

Для вычисления корней 3-й степени из 1 рассмотрим уравнение Разложение левой части на множители дает Приравнивание к нулю первого множителя дает Второй множитель порождает корни — являющиеся первообразными кубическими корнями из 1. Сравнение с формулой показывает, что 120°. Сравнение компонент дает хорошо известные из тригонометрии формулы

Разложение на множители многочлена

показывает, что первообразные корни степени 6 из 1 суть корни уравнения ибо приравнивание к нулю других множителей дает не первообразные корни.

Рассмотрим . Уравнение приводит после разложения на множители к уравнению . Первообразные корни являются корнями уравнения . Оно равносильно уравнению . Положив и заметив, что мы получим следующее уравнение относительно : откуда . Корни из 1 находятся из уравнений откуда . Подставив вместо их значения, получим

Сопоставление с формулой дает сравнительно мало известную формулу .

Из нее легко выводится формула для длины стороны правильного десятиугольника, вписанного в круг радиуса r. Именно,

Из этой формулы следует способ построения стороны правильного десятиугольника циркулем и линейкой (рис. 7), известный еще в глубокой древности и описанный Евклидом.

Разумеется, формулу легко обосновать без привлечения задачи о корнях из 1. Именно (рис. 8), равнобедренный треугольник с основанием и боковыми сторонами имеет угол 36° при вершине и, следовательно, углы 72° при основании. Биссектриса одного из этих углов разбивает треугольник снова на два равнобедренных треугольника, так что . Из подобия треугольников ОАВ и BDA получаем откуда

Во времена Евклида были известны способы построения циркулем и линейкой правильных -угольников, вписанных в данный круг, для следующих значений (а значит, и ), (с ним и ибо ) и прием удвоения числа сторон, что приводило к возможности построения при . Никаких других случаев возможности аналогичного построения не было известно до конца 18 в. Тем более поразительным было открытие в 1801 г. способа построения правильного -угольника восемнадцатилетним немецким математиком К. Ф. Гауссом.

Рис. 7.

Рис. 8.

Более того, Гаусс показал, что для возможности построения циркулем и линейкой вписанного в данный круг правильного -угольника необходимо и достаточно, чтобы каноническое разложение числа имело вид , где — любое целое число, — так называемые простые числа Ферма. Простое число называется числом Ферма, если есть степень числа 2. Наименьшими простыми числами Ферма являются Легко видеть, что для простоты числа необходимо, чтобы показатель сам был степенью двойки (но не достаточно: — не простое число). Существует ли бесконечно много простых чисел Ферма, или их лишь конечное число — вопрос, не решенный до настоящего времени.

Выведем формулы, из которых следует, что построение вписанного в круг правильного -угольника выполнимо циркулем и линейкой. Разумеется, мы в состоянии это сделать здесь лишь формально, не вскрывая глубоких причин успеха.

Прежде всего заметим, что длина стороны правильного -угольника, вписанного в круг радиуса , равна . Положим . Рассмотрим следующие два числа:

Заметим, что . Поэтому .

Далее, числа вещественны, ибо комплексно сопряжены, и, учитывая расположение на единичном круге слагаемых легко убедиться, что

Вычислим теперь

Пока мы просто умножили каждое слагаемое из на каждое слагаемое из заменив все показатели, большие 16, их остатками от деления на 17. Внимательное рассмотрение получившейся суммы показывает, что среди 64 слагаемых присутствуют все числа каждое по четыре раза. Поэтому Итак, Поэтому

Рассмотрим теперь числа Из расположения слагаемых на единичной окружности легко получить, что .

Далее, . Поэтому

Возьмем еще . Для них аналогично получим, что откуда

Теперь положим . Ясно, что . Далее, откуда . Но

Итак, сторона правильного -угольника, вписанного в круг радиуса , находится по формуле

где

Таким образом, для вычисления нужно кроме арифметических действий сделать несколько извлечений квадратного корня. Все эти действия выполнимы при помощи циркуля и линейки.